1、2020-2021学年浙江省杭州市某校西溪校区高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分)1. 已知直线3x-y+10的倾斜角为，则sin（ ）A.13B.3C.31010D.10102. 设aR，则“a1”是“直线l1:ax+2y0与直线l2:x+(a+1)y+40平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3. 圆x2+y2-4x+30关于直线y=33x对称的圆的方程是（ ）A.(x-3)2+(y-1)21B.x2+(y-2)21C.x2+(y-1)21D.(x-1)2+(y-3)214. 设m，n表示不同直线，表示不同平面，下列叙
2、述正确的是（ ）A.若m/，m/n，则n/B.若m/n，m，n，则/C.若，则/D.若m，n，则m/n5. 将半径为3，圆心角为23的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）A.B.22C.3D.2236. 已知(x,y)为半圆C：(x-2)2+(y-1)21(y1)上一动点，则y-1x最大值为（ ）A.33B.2C.12D.37. 如图，M、N分别为边长为1的正方形ABCD的边BC、CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论错误的是（ ）A.MN/平面ABDB.异面直线AC与BD所成的角为定值C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.
3、三棱锥M-ACN体积的最大值为2488. 在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E分别是BC，AB的中点，ABAC，且ACAD设PC与DE所成角为，PD与平面ABC所成角为，二面角P-BC-A为，则（ ）A.B.C.D.0)与圆O交于B，C两点 （1）求ABAC的最小值；（2）设P是圆O上异于B，C的任一点，直线PB，PC与x轴分别交于点M，N，求SPOMSPON的最大值参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省杭州市某校西溪校区高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1. C2. A3. D4. D5. D6. A7. C8. A9. C10. B二、填空题
4、：单空题每题4分，多空题每题6分11. 43,4+2612. 16,3413. 2,114. 323,115. (x+12)2+y2=116. 1或17. 2341三、解答题：5小题，共74分18. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点， DE/AB，AB/A1B1， DE/A1B1， DE平面DEC1，A1B1平面DEC1， A1B1/平面DEC1 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC的中点，ABBC BEAC， 直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面ABC，BE平面ABC， BEAA1，又AA1ACA， BE平面ACC1A1， C1E平面ACC1A1，
5、BEC1E19. 设动点P的坐标为(x,y)，则AP=(x,y-1),BP=(x,y+1)，PC=(1-x,-y)， APBP=k|PC|2， x2+y2-1k(x-2+y2，即(k-(1)x2+(k-(2)y2-2kx+k+10若k1，则方程为x1，表示过点(1,0)且平行于y轴的直线；若k1，则方程为(x+k1-k)2+y2(11-k)2，表示以(k1-k,0)为圆心，以1|1-k|为半径的圆；(3)当k2时，方程化为(x-(4)2+y21，|AP+BP|=|(2x,2y)|2x2+y2令x2+cos，ysin，则|AP+BP|=25+4cos 当cos1时，|AP+BP|的最大值为6，当
6、cos-1时，|AP+BP|的最小值为220. AB=AC=5，BC2，EF/BC，AHBC， H为BC的中点，CHBH1，AH=AC2-CH2=2，AHEF， AOEF，又平面AEF平面BCFE，平面AEF平面BCFEEF， AO平面BCEF，则ABO为直线AB与面BCFE所成角，若AEEB=53，由EF/BC，得AOOH=AEEB=53， AO=582=54，OH=34，AOAO=54，又OB=OH2+HB2=(34)2+12=54， tanABO=AOOB=1，又ABO是锐角， ABO45，故直线AB与面BCFE所成角大小为45；以O为坐标原点，分别以OH、OF、OA所在直线为x、y、z
7、轴建立空间直角坐标系， E，F分别为AB，AC中点，则EF=12BC1，AOOH1，E(0,-12,0)，B(1,-1,0)，A(0,0,1)，EB=(1,-12,0)，BA=(-1,1,1)，设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,z)，由mEB=x-12y=0mBA=-x+y+z=0，取y2，得m=(1,2,-1)；平面BCE的一个法向量n=(0,0,1)，cos=mn|m|n|=-161=-66， 锐二面角A-BE-C的余弦值为66；由（2），C(1,1,0)，F(0,12,0)，FC=(1,12,0)，CA=(-1,-1,1)，设平面ACF的一个法向量为p=(x1,y1,z1)，则pF
8、C=x1+12y1=0pCA=-x1-y1+z1=0，取x11，得p=(1,-2,-1)，又CB=(0,-2,0)， 点B到面ACF的距离为|CB|cos|=|CBp|p|=46=26321. 证明：过B作BMAD于M， AD/BC，ABC120，AD4，AB2， CBM90，ABM30，AM1，DM3BC， 四边形BCDM为矩形， BMCD=3，CE1，BE2， DE2，AE23， AE2+DE2AD2，即AEDE，又APDE，AEAPA，AE、AP平面PEA， DE面PEA由（1）知，DE面PEA， DE平面ABCD， 平面ABCD面PEA， PQ平面ABCD，平面ABCD面PEAAE，
9、点Q在AE上， 直线AP与平面ABCD所成角的余弦值为33， cosPAQ=33，tanPAQ=2，设AQx，则EQ23-x，PQAQtanPAQ=2x，三棱锥P-QDE的体积V=13PQ12DEEQ=162x2(23-x)=23x(23-x)， 当x=3时，三棱锥P-QDE的体积取得最大值，此时点Q为AE的中点， BQ1，PQ=6， F为AB的中点， FQ/BC， PBC即为直线PB与QF所成角 PB=PQ2+BQ2=7，PE=PQ2+EQ2=3，在PBE中，由余弦定理知，cosPBC=PB2+BE2-PE22PBBE=7+4-9272=714，故异面直线PB与QF所成角的余弦值为71422
10、. 由对称性，设B(x0,y0)，C(x0,-y0)，则x02+y024，所以ABAC=(x0-2)2-y02(x0-2)2-(4-x02)2(x0-1)2-2，因为-2x02，所以当x01时，ABAC取得最小值为-2设P(x1,y1)(y1y0)，则x12+y124，直线PB、PC的方程分别为PB:y-y1=y0-y1x0-x1(x-x1)，PC:y-y1=-y0-y1x0-x1(x-x1)，分别令y0，得xM=x1y0-x0y1y0-y1，xN=x1y0+x0y1y0+y1，所以xMxN=x12y02-x02y12y02-y12=(4-y12)y02-(4-y02)y12y02-y12=4，于是SPOMSPON=14|OM|ON|y12=14|xMxN|y12=y12，因为-2y12，所以当y12或y1-2时，SPOMSPON取得最大值为4
