1、创新题型与数学文化 随着新课标的深入实施，素质教育要求不断提高，全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的题型脱颖而出，为高考试题增添了活力 所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新的定义进行运算、推理、迁移的一种题型这类题目具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，由于它构思巧妙，题意新颖，是考查学生综合素质和能力、挖掘学生潜力的较佳题型，因而受到命题者的青睐新定义问题方向1 新定义集合与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题，给出集
2、合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突出学生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性例1(2019年辽宁沈阳模拟)已知集合AxN|x22x30，B1,3，定义集合A，B之间的运算“*”：A*Bx|xx1x2，x1A，x2B，则A*B中的所有元素之和为()A15 B16 C20 D21【解析】由x22x30，得(x1)(x3)0，又xN，故集合A0,1,2,3A*Bx|xx1x2，x1A，x2B，A*B中的元素有011,033,112,134,213(
3、舍去)，235,314(舍去)，336.A*B1,2,3,4,5,6，A*B中的所有元素之和为21.【答案】D与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可已知集合M(x，y)|yf(x)，若对于任意
4、实数对(x1，y1)M，都存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，则称集合M是“垂直对点集”给出下列四个集合：Mx，yy1x；M(x，y)|ylog2x；M(x，y)|yex2；M(x，y)|ysin x1其中是“垂直对点集”的序号是()A B C D【答案】C【解析】记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2y1y20得OAOB.对于，对任意AM，不存在BM，使得OAOB.对于，当A为点(1,0)时，不存在BM，使得OAOB.对于，对任意AM，过原点O可作直线OBOA，它们都与函数yex2及ysin x1的图象相交，即满足题意故选C方向2 新定义函数新定义函数问题主要包括两
5、类，一是概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应关系、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解二是性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力例2对于函数f(x)，若存在区间Am，n，使得y|yf(x)，xAA，则称函数f(x)为“可等域函数”，区间A为函数f(x)的一个“可等域区间”给出下列4个函数：f(x)sin2x)；f(x)2x21；f(x)|12x|；f(x)log2(2x2)其中的“可等域函数”为_(填序号)【解析】根据题意，中，1,0
6、与0,1及1,1都是f(x)的“可等域区间”，满足；中，f(x)2x21在1,1的值域为1,1，满足；中，f(x)|12x|与yx的交点为(0,0)，(1,1)，其“可等域区间”为0,1，满足；中，f(x)log2(2x2)与yx无交点，不满足综上，“可等域函数”为.【答案】求解函数新定义问题的思路(1)理解定义：深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系(2)合理转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或将新函数转化为已知函数的复合函数等形式解决问题(3)特值思想：如果函数的某
7、一性质(一般是等式、不等式等)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题(2019年广西柳州模拟)已知点A(1，1)，若函数f(x)图象上存在两点B，C，使ABC为正三角形，则称函数f(x)为“型函数”给定下列函数：f(x)x3(0 x3)；f(x)2x2(2x0)；f(x)1x(x0)其中是“型函数”的是_【答案】【解析】对于，f(x)x3(0 x3)的图象是一条线段，记为BC，如图所示，从图中可知BC3 2，BAAC 17.3 2 18 17，在线段BC上一定存在两点B，C使ABC为正三角形，故满足对于，f(x)2x2(2x0)的图象是圆x2y22在
8、第二象限的部分，如图所示，显然，无论点B，C在何处，ABC都不可能为正三角形，所以不满足对于，y 1x(x0)表示双曲线在第四象限的一支，如图所示，显然，存在点B，C使ABC为正三角形，所以满足方向3 新定义数列通过定义一个新数列来创设问题情境，要求考生在阅读理解题意的基础上，善于观察问题的结构特征和本质，依据题中提供的信息，联系所学过的数学知识和方法，将新定义的数列问题迁移到递推或等差、等比数列的知识上来，从而使问题得解例3(2019年河南郑州模拟)意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”an：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，即a1a
9、21，anan1an2(n3，nN*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列各项被3整除后的余数构成一个新数列bn，则b2019_.【解析】观察“兔子数列”可知，各项被3整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，构成以8为周期的周期数列，所以b2019b32.【答案】2新定义数列问题的求解策略解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆若数列an满足12an1an 2(nN*)，
10、则称an是“紧密数列”若an(n1,2,3,4)是“紧密数列”，且a11，a232，a3x，a44，则x的取值范围为()A1,3)B1,3C2,3)D2,3【答案】D【解析】依题意可得12x322，124x2，解得2x3，故x的取值范围为2,3 高等数学作为大学大多数专业的基础课程，有着广泛的应用，近几年，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，成为高考试卷的热点之一以高等数学为背景方向1 高斯函数(取整函数)高斯函数(取整函数)指不超过实数x的最大整数，称为x的整数部分，记作x或INT(x)，例如2.33，3.23，该函数被广泛应用于数论、绘图和计算机领域高斯函数的相关问题
11、在高考中常常以信息题的形式出现，主要考查取整函数的定义以及其运算性质，现通过一些例题来研究一下取整函数，希望同学们掌握好这类问题常用的处理方法对于函数f(x)x，当0 x1时，x0；当1x2时，x1；当2x3时，x2；当3x4时，x3；所以函数f(x)x的图象如图所示：例4 设x表示不大于实数x的最大整数，则对任意的实数x，有()Axx Bx12 xC2x2x Dxx12 2x【解析】取特殊值进行判断，当x1.1时，x2，x1，故A错误；当x1.1时，x2，x12 0.61，故B错误；当x1.9时，2x3,2x2，故C错误由排除法可知选D【答案】D本题借助取整函数的定义，取特殊值进行判断(20
12、19年江西上饶模拟)定义区间a，b的长度为ba，用x表示不超过x的最大整数设f(x)x(xx)，g(x)x1，则0 x2 019时，不等式f(x)g(x)的解集区间的长度为_【答案】2 018【解析】易得f(x)x(xx)0，0 x1，x1，1x2，2x2，2x3，3x3，3x4，作出函数图象(图略)，可知当0 xg(x)，其他区间上都有f(x)g(x)所以0 x2 019时，不等式f(x)g(x)的解集区间的长度为2 018.方向2 最大函数、最小函数设f(x)，g(x)均为定义在I上的函数，记minf(x)，g(x)为f(x)，g(x)中值较小的函数，maxf(x)，g(x)为f(x)，g
13、(x)中值较大的函数若f(x)g(x)，则minf(x)，g(x)maxf(x)，g(x)f(x)例5 记maxp，q为p，q中值较大者，minp，q为p，q中值较小者，设a，b为平面向量，则()Amin|ab|，|ab|min|a|，|b|Bmin|ab|，|ab|min|a|，|b|Cmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2Dmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2【解析】max|ab|2，|ab|2|ab|2|ab|22|a|2|b|2.故选D【答案】D由中学所学知识可推得最大函数、最小函数的性质(1)mina，bab2 maxa，b；(2)当a0，b0时，mina，b abma
14、xa，b对于任意实数a，b，定义mina，b为a，b中值较小者已知函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_【答案】1【解析】依题意，h(x)log2x，0 x2，x3，x2.当0 x2时，h(x)log2x是增函数，当x2时，h(x)3x是减函数，则h(x)maxh(2)1.近几年课标卷命题常在实际问题中考查推理应用及逻辑判断能力该类题型贴近生活、命题新颖，考查能力要求较高例6(1)(2019年湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一
15、名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是()A甲 B乙 C丙 D丁实际问题中的推理应用(2)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是教师已知：丙的年龄比教师大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确的是()A甲是工人，乙是教师，丙是农民 B甲是教师，乙是农民，丙是工人 C甲是教师，乙是工人，丙是农民 D甲是农民，乙是教师，丙是工人【解析】(1)若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名；若乙猜测正确，则3号不可能得第一名，
16、即1,2,4,5,6号选手中有一位获得第一名，那么甲和丙中有一人也猜测正确，与题意不符，故乙猜测错误；若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，此时3号得第一名，符合题意选D(2)由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比教师大”，可知甲是教师，故乙是工人故选C【答案】(1)D(2)C推理应用问题求解的2种途径求解此类推理性试题，要根据所涉及的人与物进行判断，通常有两种途径，一是根据条件直接进行推理判断二是假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符(1)(2019年安徽合肥模拟)某参
17、观团根据下列要求从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：若去A镇，也必须去B镇；D，E两镇至少去一镇；B，C两镇只去一镇；C，D两镇都去或者都不去；若去E镇，则A，D两镇也必须去则该参观团至多去了()AB，D两镇 BA，B两镇CC，D两镇 DA，C两镇(2)数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题甲：“我不会证明”乙：“丙会证明”丙：“丁会证明”丁：“我不会证明”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是()A甲 B乙 C丙 D丁【答案】(1)C(2)A【解析】(1)假设去A镇，则也必须去B镇，但去B镇则不能去C镇，不去C镇则也不能去D镇，不去D镇则也不能去E
18、镇，D，E镇都不去，则不符合条件故若去A镇则无法按要求完成参观同理，假设不去A镇去B镇，同样无法完成参观要按照要求完成参观，一定不能去B镇，而不去B镇的前提是不去A镇故A，B两镇都不能去，则一定不能去E镇，所以能去的地方只有C，D两镇故选C(2)四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意故选A 数学文化题是近几年课标全国卷中出现的新题型，涉及较多的数学模块知识数学文化方向1 数列问题与等差数列有关的数学文化题多涉及项与和的求法，等比数列中的数学文化问题也是
19、高考命题点之一，常涉及等比数列的基本量的运算，难度不大例7 张邱建算经是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈头节高五寸，头圈一尺三.逐节多三分，逐圈少分三.一蚁往上爬，遇圈则绕圈爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：第一节的高度为0.5尺；第一圈的周长为1.3尺；每节比其下面的一节高0.03尺；每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是()A72.705尺 B61.395尺C61.905尺 D73.995尺【解析】因为每相邻两节竹节间的长度差为0.03尺，设从地面往上每节竹长分别为a1，a2，a3，a30
20、，所以数列an是以a10.5为首项，以d10.03为公差的等差数列又由题意知竹节圈长，每后一圈比前一圈细0.013尺，设从地面往上每节圈长分别为b1，b2，b3，b30，则数列bn是以b11.3为首项，以d0.013为公差的等差数列所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程为S30300.5302920.03 301.3302920.013 61.395(尺)【答案】B解决数列与数学文化相交汇问题的关键(1)读懂题意，会脱去数学文化的背景(2)构造模型，由题意构造等差数列或等比数列或递推关系式的模型(3)求解模型，利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前n项和的公式 中国古
21、代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是()Aa，b，c成公比为2的等比数列，且a507Ba，b，c成公比为2的等比数列，且c507Ca，b，c成公比为12的等比数列，且a507Da，b，c成公比为12的等比数列，且c507【答案】
22、D【解析】由题意得a，b，c成公比为12的等比数列，b12a，c12b，故4c2cc50，解得c507.故选D方向2 算法问题算法的交汇问题涉及与统计、函数、数列求和等问题，其中与数学文化的交汇问题是高考的一大亮点例8(2019年河南开封一模)我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则处可分别填入的语句是()Ai7，ss1i，i2iBi7，ss1i，i2iCi7，ss2，ii1Di7，ss2，ii1【解析】由题意可知第一天后剩下
23、 12，第二天后剩下 122，由此得出第7天后剩下 127，则应为i7，应为ss2，应为ii1.故选D【答案】D解决算法交汇问题的3个关键点(1)读懂程序框图，明确交汇知识(2)根据给出的问题与程序框图来处理问题(3)注意框图中结构的判断(2019年福建莆田质检)我国古代数学著作孙子算经中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为()A121 B81 C74 D49【答案】B【解析】a1，S0，n1，第一次循环：S1，n2，a8；第二次循环：S9，n3，a16；第三次循环：S25，n4，a24；第四次循环：S49，
24、n5，a32；第五次循环：S81，n6，a4032，输出S81.方向3 几何问题古代数学文化中有大量的涉及空间几何体的表面积、体积问题，解决时关键要读懂题意，构造几何体模型转化求解例9(2019年广东广州综合测试)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A8 B12 C20 D24【解析】如图，因为四个面都是直角三角形，所以ABBC.所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心O，易得2RPC 2
25、0，所以R 202，球O的表面积为4R220.【答案】C九章算术是中国古代第一部数学专著，是“算经十书”中最重要的一种，成书于公元一世纪左右该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就同时，九章算术在数学上还有其独到的成就，其中不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，方程章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系(2019年云南昆明模拟)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分
26、(看成一个简单的组合体)的体积为()A63 B72 C79 D99【答案】A【解析】由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为325 12 43 3363.故选A方向4 其他问题与三角形有关的数学文化问题可以与正、余弦定理交汇出题，与概率有关的数学文化问题一般出现在随机事件的概率、古典概型、几何概型中，难度不大例10(2019年湖北黄冈模拟)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步欲知为田几何”这道题讲的是有一块三
27、角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为_平方千米【解析】设在ABC中，a13里，b14里，c15里，所以由余弦定理得cos C 13214215221314 513，所以sin C 1213，故ABC的面积为 12 1314 1213500211 000221(平方千米)【答案】21数书九章，古代数学著作，由南宋数学家秦九韶所著书中共列算题81问，分为9类全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，是了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献，该书在数学内容上颇多创新，是对九章算术的继承和发展，标志着中国古代数学的高峰(2019年重庆模拟)九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A310 B320 C1310 D1320【答案】D【解析】如图，直角三角形的斜边长为8215217，设其内切圆的半径为r，则8r15r17，解得r3，内切圆的面积为r29.由几何概型概率计算公式可知豆子落在内切圆外的概率p19128151320.故选D专题复习检测谢谢观看
