1、两条直线的交点坐标学习目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系知识点两条直线的交点1两直线的交点已知直线l1：A1xB1yC10；l2：A2xB2yC20.点A(a，b)(1)若点A在直线l1：A1xB1yC10上，则有A1aB1bC10 .(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有2两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行1若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解()2无论m为何值，xy10与x2my30必相交()3若两直线的方程组成的
2、方程组有解，则两直线相交()4在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交()一、求相交直线的交点坐标例1(1)求经过点(2,3)且经过直线l1：x3y40与l2：5x2y60的交点的直线方程；(2)求经过两条直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10垂直的直线方程解(1)联立解得所以直线l1与l2的交点为(2,2)由两点式可得所求直线的方程为，即x4y100.(2)由方程组得因为所求直线和直线3xy10垂直，所以所求直线的斜率k，所以有y，即所求的直线方程为5x15y180.反思感悟求两相交直线的交点坐标(1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组(2)解二元一次方程组的常
3、用方法有代入消元法和加减消元法跟踪训练1(1)已知直线l1：3x4y50与l2：3x5y60相交，则它们的交点是()A.B.C.D.答案B(2)经过直线2xy40与xy50的交点，且垂直于直线x2y0的直线方程是()A2xy80 B2xy80C2xy80 D2xy80答案A二、直线系过定点问题例2无论m为何值，直线l：(m1)xy7m40恒过一定点P，求点P的坐标解(m1)xy7m40，m(x7)(xy4)0，点P的坐标为(7,3)反思感悟解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从
4、而问题得解(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得若整理成yy0k(xx0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)跟踪训练2已知直线(a2)y(3a1)x1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限证明将直线方程整理为a(3xy)(x2y1)0.因为直线3xy0与x2y10的交点为，即直线系恒过第一象限内的定点，所以无论a为何值，直线总经过第一象限对称问题典例光线通过点A(2,3)，在直线l：xy10上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程解设
5、点A(2,3)关于直线l的对称点为A(x0，y0)，则解得A(4，3)由于反射光线经过点A(4，3)和B(1,1)，所以反射光线所在直线的方程为y1(x1)，即4x5y10.解方程组得反射点P.所以入射光线所在直线的方程为y3(x2)，即5x4y20.素养提升对称问题中的直观想象与数学运算(1)可以通过直观想象理解对称问题中的点线位置关系(2)直线的对称可以转化为点的对称，其中的点、直线可以通过数学运算确定1两条直线l1：2xy10与l2：x3y110的交点坐标为()A(3,2) B(2,3)C(2，3) D(3，2)答案B解析解方程组得2直线2xy10与直线xy20的交点在()A第一象限 B
6、第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析联立解得交点(1,1)在第二象限故选B.3不论m为何实数，直线l：(m1)x(2m3)ym0恒过定点()A(3，1) B(2，1)C(3,1) D(2,1)答案C解析直线l的方程可化为m(x2y1)x3y0，令解得直线l恒过定点(3,1)故选C.4斜率为2，且过两条直线3xy40和xy40交点的直线方程为_答案2xy40解析设所求直线方程为3xy4(xy4)0，即(3)x(1)y440，k2，解得5.所求直线方程为2xy40.5若三条直线2x3y80，xy10和xky0相交于一点，则k_.答案解析解方程组得又该点(1，2)也在直线xky0上，12k0，k
7、.1知识清单：(1)两条直线的交点(2)直线过定点2方法归纳：消元法、加减消元法、直线系法3常见误区：对两直线相交条件认识模糊：直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20相交的等价条件是A1B2A2B10.1直线x1和直线y2的交点坐标是()A(2,2) B(1,1) C(1,2) D(2,1)答案C解析由得交点坐标为(1,2)，故选C.2直线3x2y60和2x5y70的交点坐标为()A(4，3) B(4,3)C(4,3) D(3,4)答案C解析由方程组得故选C.3经过直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点，且经过原点的直线的方程是()A19x9y0 B9x19y0C3x19
8、y0 D19x3y0答案C解析由解得故过点 和原点的直线方程为yx，即3x19y0.4两条直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，那么k的值是()A24 B6 C6 D24答案C解析因为两条直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)，所以消去b，可得k6.5当a取不同实数时，直线(a1)xy2a10恒过一定点，这个定点是()A(2,3) B(2,3)C.D(2,0)答案B解析直线化为a(x2)xy10.由得直线过定点(2,3)6过两直线2xy50和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程为_答案3xy0解析由得则所求直线的方程为y33(x1)，即3xy0.
9、7三条直线ax2y80,4x3y10,2xy10相交于一点，则实数a的值为_答案1解析由解得又点(4，2)在直线ax2y80上，所以4a2(2)80，解得a1.8已知直线ax2y10与直线2x5yc0垂直相交于点(1，m)，则a_，c_，m_.答案5122解析由两直线垂直得2a100，解得a5.又点(1，m)在直线上得a2m10,25mc0，所以m2，c12.9求经过直线l1：7x8y10和l2：2x17y90的交点，且垂直于直线2xy70的直线方程解由方程组解得所以交点坐标为.又因为直线斜率为k，所以，所求直线方程为y，即27x54y370.10若两条直线l1：ykx2k1和l2：x2y40
10、的交点在第四象限，求k的取值范围解联立两直线的方程解得该交点落在平面直角坐标系的第四象限，解得即k.则k的取值范围为.11直线kxy12k，当k变动时，所有直线都通过定点()A(2，1) B(2，1)C(2,1) D(2,1)答案A解析kxy12k，可化为y1k(2x)，故该直线恒过定点(2，1)12若三条直线l1：axy10，l2：xay10，l3：xya0能构成三角形，则a应满足的条件是()Aa1或a2 Ba1Ca1且a2 Da1且a2答案D解析 (1)若三条直线重合，由三条直线的方程可知a1.(2)若三条直线交于一点，由解得将l2，l3的交点(a1,1)代入l1的方程解得a1(舍去)或a
11、2.(3)若l1l2，由aa110，得a1，当a1时，l1与l2重合(4)若l2l3，由11a10，得a1，当a1时，l2与l3重合(5)若l1l3，由a1110，得a1，当a1时，l1与l3重合综上，当a1时，三条直线重合；当a1时，l1l2；当a2时，三条直线交于一点，所以要使三条直线能构成三角形，需a1且a2.13若集合(x，y)|xy20且x2y40(x，y)|y3xb，则b_.答案2解析解方程组得代入直线y3xb，得b2.14已知A(2,4)，B(4,2)，直线l：axy20与线段AB恒相交，则a的取值范围为_答案(，31，)解析如图所示，直线l：axy20经过定点D(0，2)，a表
12、示直线l的斜率，设线段AB与y轴交于点C，由图形知，当直线l：axy20与线段AB的交点在线段CB上时，a大于或等于DB的斜率，即a1，即a1.当直线l：axy20与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，即a3，即a3.综上，a的取值范围为(，31，)15已知A(3,1)，B(1,2)，若ACB的平分线方程为yx1，则AC所在直线方程为()Ay2x4 Byx3Cx2y10 D3xy10答案C解析设B关于直线yx1的对称点B(x，y)，则即解得即B(1,0)又B在直线AC上，则直线AC的方程为，即x2y10.16直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x3y100，l2：2xy8
13、0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为P，求直线l的方程解方法一设A(x0，y0)，由中点公式，有B(x0，2y0)，A在l1上，B在l2上，解得kAP，故所求直线l的方程为yx1，即所求直线l的方程为x4y40.方法二由题易知，直线l的斜率存在，设所求直线l方程为ykx1，l与l1，l2分别交于A，B，解方程组解得A；解方程组解得B，A，B的中点为P(0,1)，则有0，k.故所求直线l的方程为x4y40.方法三设所求直线l与l1，l2分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)为AB的中点，则有可得代入l2的方程得2(x1)2y180，即2x1y160，解方程组解得所以A(4,2)，由两点式可得所求直线l的方程为x4y40.
