考点2 定值问题（2018北京卷（理）已知抛物线C：y22px经过点P（1,2），过点Q（0,1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，QMQO，QNQO，求证：11为定值【解析】（1）因为抛物线y22px过点（1,2），所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1（k0），由y24x,ykx1,得k2x2（2k4）x10.依题意知（2k4）24k210，解得k0或0k1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，2）从而k3.所以直线l的斜率的取值范围是（，3）（3,0）（0,1）（2）证明设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知x1x22k-4k2，x1x21k2.直线PA的方程为y2y1-2x1-1（x1），令x0，得点M的纵坐标为yM-y1+2x1-12-kx1+1x1-12.同理得点N的纵坐标为yN-kx2+1x2-12.由QMQO，QNQO，得1yM，1yN.所以1111-yM11-yNx1-1(k-1)x1x2-1(k-1)x21k-12x1x2-(x1+x2)x1x21k-12k2+2k-4k21k22.所以11为定值【答案】见解析
