1、考点2 导数几何意义及应用（2018江苏卷）记f（x），g（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数若存在x0R，满足f（x0）g（x0）且f（x0）g（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”（1）证明：函数f（x）x与g（x）x22x2不存在“S点”；（2）若函数f（x）ax21与g（x）lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）x2a，g（x）bexx.对任意a0，判断是否存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，）内存在“S点”，并说明理由【解析】（1）证明函数f（x）x，g（x）x22x2，则f（x）1，g（x）2x2.由f（x）g（x）且f（x）g（
2、x），得xx22x2,12x2,此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S点”（2）函数f（x）ax21，g（x）lnx，则f（x）2ax，g（x）1x.设x0为f（x）与g（x）的“S点”，由f（x0）g（x0）且f（x0）g（x0），得ax02-1=lnx0,2ax0=1x0,即ax02-1=lnx0,2ax02=1,（*）得lnx012，即x0e12，则a12e-122e2.当ae2时，x0e12满足方程组（*），即x0为f（x）与g（x）的“S点”因此，a的值为e2.（3）对任意a0，设h（x）x33x2axA因为h（0）a0，h（1）13aa20，且h（x）的图象是不间断的，所
3、以存在x0（0,1），使得h（x0）0.令b2x03ex0(1-x0)，则b0.函数f（x）x2a，g（x）bexx，则f（x）2x，g（x）bex(x-1)x2.由f（x）g（x）且f（x）g（x），得-x2+a=bexx,-2x=bexx-1x2,即-x2+a=2x03ex01-x0exx,-2x=2x03ex01-x0exx-1x2,（*）此时，x0满足方程组（*），即x0是函数f（x）与g（x）在区间（0,1）内的一个“S点”因此，对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，）内存在“S点”【答案】见解析（2018全国卷（文）曲线y2ln x在点（1,0）处的切线方程为_
4、【解析】因为y2x，y|x12，所以切线方程为y02（x1），即2xy20.【答案】2xy20（2018全国卷（文）设函数f（x）x3（a1）x2ax，若f（x）为奇函数，则曲线yf（x）在点（0,0）处的切线方程为（）Ay2xByxCy2xDyx【解析】方法一f（x）x3（a1）x2ax，f（x）3x22（a1）xA又f（x）为奇函数，f（x）f（x）恒成立，即x3（a1）x2axx3（a1）x2ax恒成立，a1，f（x）3x21，f（0）1，曲线yf（x）在点（0,0）处的切线方程为yx.故选D方法二f（x）x3（a1）x2ax为奇函数，f（x）3x22（a1）xa为偶函数，a1，即f（x）3x21，f（0）1，曲线yf（x）在点（0,0）处的切线方程为yx.故选D【答案】D
