1、综合提升A级基础巩固1.若直线y=kx+2与椭圆x23+y22=1相切,则斜率k的值是()A.63B.-63C.63D.33解析:由y=kx+2,x23+y22=1,得(3k2+2)x2+12kx+6=0.由题意,知=144k2-24(3k2+2)=0,解得k=63.答案:C2.若直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数为()A.0B.1C.2D.0或1解析:因为直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,所以4m2+n22.所以0m2+n24,所以m29+n24b0)的一个顶点为A(2,0),离心率为22,直线y=k(
2、x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)当AMN的面积为103时,求k的值.解:(1)由题意,得a=2,ca=22,a2=b2+c2,解得c=2,b=2.所以椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)由y=k(x-1),x24+y22=1,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-41+2k2,所以|MN|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2)(4+6k2)1+2
3、k2.又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=|k|1+k2,所以AMN的面积为S=12|MN|d=|k|4+6k21+2k2,由|k|4+6k21+2k2=103,化简,得7k4-2k2-5=0,解得k=1.B级拓展提高8.若AB是过椭圆x216+y225=1中心O的弦,F1为椭圆的焦点,则F1AB面积的最大值是()A.6B.12C.24D.48解析:设A(xA,yA),B(xB,yB).因为F1AB的面积可以看成OF1A与OF1B的面积之和,所以SF1AB=12c|xA-xB|,故当直线AB垂直于y轴时,|xA-xB|max=2b=8,所以F1AB面积的最大值为1238=12.
4、答案:B9.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=()A.1B.2C.3D.2解析:由题意,得右焦点F(23,0),过右焦点F且斜率为k(k0)的直线为x=my+23,m=1k.设A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组x216+y24=1,x=my+23,得(4+m2)y2+43my-4=0,则y1+y2=-43m4+m2,y1y2=-44+m2.因为AF=3FB,所以(23-x1,-y1)=3(x2-23,y2),所以y1=-3y2,y1+y2=-43m4+m2,y1y2=-44+m2,解得m2=12,即k2=2.因
5、为k0,所以k=2.答案:B10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),A,B是椭圆C的长轴的两个端点,点M是椭圆C上的一点,且满足MAB=30,MBA=45,设椭圆C的离心率为e,则e2=1-33.解析:设M(x0,y0),A(-a,0),B(a,0).因为MAB=30,MBA=45,所以kBM=y0x0-a=-1,kAM=y0x0+a=33,两式联立y0x0-a=-1,y0x0+a=33,解得x0=(2-3)a,y0=(3-1)a.又因为M在椭圆C上,所以x02a2+y02b2=1,即(2-3)2a2a2+(3-1)2a2b2=1,所以b2a2=33,所以e2=1-33.11.椭圆
6、mx2+ny2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,过AB的中点M与坐标原点的连线的斜率为22,则mn=22.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),由题意可得,kOM=y0x0=22,kAB=y2-y1x2-x1=-1.由AB的中点为M,可得x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.由A,B在椭圆上,可得mx12+ny12=1,mx22+ny22=1,两式相减,得m(x1-x2)2x0+n(y1-y2)2y0=0,整理,得mn=22.12.已知动点P与平面上两定点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率的积为定值-12.(1)试求动点P的轨迹C的方程;(2)设直线l:y=k
7、x+1与曲线C交于M,N两点,当|MN|=423时,求直线l的方程.解:(1)设动点P的坐标是(x,y),由题意,得kPAkPB=-12.所以yx+2yx-2=-12,化简整理,得x22+y2=1.故动点P的轨迹C的方程是x22+y2=1(x2).(2)设直线l与曲线C的交点M(x1,y1),N(x2,y2),由y=kx+1,x22+y2=1(x2),得(1+2k2)x2+4kx=0(x2).所以x1+x2=-4k1+2k2,x1x2=0.所以|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=423,整理,得k4+k2-2=0,解得k2=1或k2=-2(舍去).所以k=1,经检验符合题意.所以直
8、线l的方程是y=x+1或y=-x+1,即x-y+1=0或x+y-1=0.13.椭圆的两个焦点分别为F1(-3,0)和F2(3,0),且椭圆过点1,-32.(1)求椭圆方程;(2)过点-65,0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M,N两点,A为椭圆的左顶点,试判断MAN的大小是否为定值,并说明理由.解:(1)由题意可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由c=3,a2=b2+c2,得x2b2+3+y2b2=1.又因为椭圆过点1, -32,所以1b2+3+34b2=1,解得b2=1或b2=-94(舍去),所以a2=4.所以椭圆的方程为x24+y2=1.(2)是定值.理由:设直线l的方程为x=
9、ky-65,联立直线l和椭圆的方程可得x=ky-65,x24+y2=1,消去x,得(k2+4)y2-125ky-6425=0.由题意,知A(-2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2=-6425(k2+4),y1+y2=12k5(k2+4),则AMAN=(x1+2,y1)(x2+2,y2)=(k2+1)y1y2+45k(y1+y2)+1625=0,即可得MAN=2(定值).C级挑战创新14.多选题已知直线y=3x+2被椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)截得的弦长为8,则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是()A.y=3x-2B.y=3x+1C.y=-3x-2D.y=-3x+
10、2解析:因为椭圆关于原点和坐标轴对称,所以与直线y=3x+2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)截得的弦长也为8.直线y=3x+2关于原点对称的直线为y=3x-2,关于x轴对称的直线为y=-3x-2,关于y轴对称的直线为y=-3x+2,故应选ACD.答案:ACD15.多选题如图,某月球探测卫星发射后,该卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长,则给出下列式子中,正确的是()A.a1+c1=a2+c2B.a1-c1=a2-c2C.c1a1a1c2解析:观察图形可知a1+c1a2+c2,即A项不正确;a1-c1=a2-c2=|PF|,即B项正确;由a1-c1=a2-c20,c1c20,知a1-c1c1a2-c2c2,即a1c1a1c2,c1a1c2a2,即D项正确,C项不正确.答案:BD
