1、综合提升A级基础巩固1.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为()A.y2=13xB.x2=3yC.x2=13yD.y2=3x解析:因为点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),所以抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为x2=3y.答案:B2.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于a2+2a+3(aR),则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有一条或两条D.不存在解析:设A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|=xA+xB+p=a2+2a+5=(a+1)2+44,而通径的长为4,所以有1条或2条.答案:C3
2、.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()A.-12,12B.-2,2C.-1,1D.-4,4解析:由题意,得准线方程为x=-2,所以Q(-2,0).设直线l:y=k(x+2),由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.当k=0时,x=0,即交点为(0,0);当k0时,0,-1k0或00)的焦点作直线l交抛物线于点M,N,交抛物线的准线于点P,若PM=2PF,则直线l的倾斜角为3或23.解析:如图,过点M作MBl,B为垂足.由PM=2PF,知F为PM的中点,所以|BM|=2p,即|FM|=2p,所以
3、|PF|=2p=2|AF|,所以PFA=3,所以直线l的倾斜角为3或23.故答案为3或23.6.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45的直线l,交抛物线于A,B两点.求:(1)被抛物线截得的弦长|AB|;(2)线段AB的中点到直线x+2=0的距离.解:(1)由已知,得抛物线y2=8x的焦点为(2,0),准线方程为x=-2.所以直线l的方程为y=x-2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组y=x-2,y2=8x,得x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,x1x2=4,所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2122-44=16,所以被抛物线截得的弦长|AB|=16.(2
4、)设线段AB中点的坐标为(x,y),则x=x1+x22=6,y=6-2=4,所以线段AB的中点坐标为(6,4),点(6,4)到直线x+2=0的距离,即到直线x=-2的距离,为6-(-2)=8.所以线段AB的中点到直线x+2=0的距离为8.B级拓展提高7.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-12,则m的值为()A.32B.2C.52D.3解析:设A,B所在直线的方程为y=-x+b,代入y=2x2,得2x2+x-b=0,所以x1+x2=-12,x1x2=-b2=-12,所以b=1,即A,B所在直线的方程为y=-x+1.设AB的中点为M(x0
5、,y0),则x0=x1+x22=-14,代入y0=-x0+1,得y0=54.又因为M-14,54在直线y=x+m上,所以54=-14+m,所以m=32.答案:A8.若双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线C2:y2=2px(p0)交于A,O,B三点(O为坐标原点),且直线AB经过抛物线C2的焦点,则该双曲线的离心率为()A.3B.5C.3D.5解析:由题意,得A,B关于x轴对称,设点A在x轴上方,可得Ap2,p,因为双曲线的两条渐近线方程为bx-ay=0,bx+ay=0,点A在双曲线的渐近线上,且在x轴上方,所以点A在直线bx-ay=0上,将点A的坐标代入得pb2
6、-pa=0,即b=2a,可得c2-a2=4a2,所以双曲线的离心率为e=ca=5.答案:B9.设抛物线x2=12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,又知点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=8.解析:分别过点A,B,P作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,Q(图略),根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8.10.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,则|AF|BF|的最小值是4.解析:由题意,知抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),当AB所在直线的斜率k存在时,设AB所在
7、直线的方程为y=k(x-1),由y2=4x,y=k(x-1),得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.依据抛物线的定义,得|AF|BF|=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1,所以|AF|BF|=2k2+4k2+2=4+4k24.当AB所在直线的斜率k不存在时,|AF|BF|=22=4.综上所述,|AF|BF|的最小值是4.11.在平面直角坐标系中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)若抛物线C上存在相异的两点P和Q关于
8、直线l对称,求p的取值范围.解:(1)因为直线x-y-2=0与x轴的交点坐标为(2,0),所以抛物线的焦点为(2,0),所以p2=2,即p=4,故抛物线C的方程为y2=8x.(2)设点Py122p,y1,Qy222p,y2,故kPQ=y1-y2y122p-y222p=2py1+y2.又因为P,Q关于直线l对称,所以kPQ=-1,即y1+y2=-2p,所以12(x1+x2)=12(y1+y2)+2,即x1+x2=4-2p.又因为x1+x2=y12+y222p,所以y12+y22=8p-4p2,故y1y2=4p2-4p.所以y1,y2是关于y的方程y2+2py+4p2-4p=0的两个不同的实数根,
9、因此=(2p)2-4(4p2-4p)0,解得0p0)的焦点F,与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限),与抛物线C的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是()A.1|AF|+1|BF|=1B.|AF|=6C.|BD|=2|BF|D.F为AD的中点解析:根据题意作出示意图,如图所示,过点A,B分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1.因为直线l的斜率为3,即xFA=60,则FDA1=30.设|BD|=x,则在RtDBB1,RtDAA1中,|BB1|=x2,|AA1|=4+x2,所以|BB1|=|BF|=x2,|AA1|=|AF|=4+x2,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+x2+
10、x2=4+x=8,解得x=4,所以|BF|=2,|AF|=6,所以选项B正确;1|AF|+1|BF|=16+121,所以选项A不正确;因为|BD|=4,满足|BD|=2|BF|,所以选项C正确;而|DF|=|BD|+|BF|=4+2=6=|AF|,所以选项D正确.故选BCD.答案:BCD14.多空题如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若FC=3FB,则直线AB的方程为y=3(x-1),|AB|=163.解析:由题意,得F(1,0),准线方程为x=-1,过点B作准线的垂线,垂足为E,则|BE|=|FB|.因为FC=3FB,所以|BC|=2|BE|,由勾股定理,得|CE|=3|BE|,所以直线AB的斜率k=3,所以直线AB的方程为y=3(x-1),由y2=4x,y=3(x-1),得3x2-10x+3=0,解得x1=3,x2=13,结合抛物线方程可得,A(3,23),B13,-233,所以|AB|=3-132+23+2332=163.
