1、第一章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出以下三个关系:0;0;0.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.0解析:因为空集是不包含任何元素的集合,0是以0为元素的集合,所以0,0都是错误的,0是正确的.答案:A2.已知全集U=Z,集合A=-1,0,1,2,B=x|x2=x,则A(UB)等于()A.1,2B.-1,0C.0,1D.-1,2解析:A=-1,0,1,2,B=x|x2=x=0,1,A(UB)=-1,2.答案:D3.已知集合M=x|x-20,xR,N=y|y=x2+1
2、,xR,则图中阴影部分表示的集合等于()A.x|x1B.x|1x2D.x|x2或x2,N=y|y1.又题图阴影部分表示的是MN,MN=x|x2.答案:C4.函数f(x)=1+x-2x的定义域是()A.-1,+)B.(-,0)(0,+)C.-1,0)(0,+)D.R解析:要使函数f(x)有意义,x的取值需满足1+x0,x0,解得x-1,且x0,则函数f(x)的定义域是-1,0)(0,+).答案:C5.下列各组函数相等的是()A.f(x)=x2,g(x)=3x3B.f(x)=x,x0,-x,x0,g(x)=|x|C.f(x)=1,g(x)=x0D.f(x)=x+1,g(x)=x2-1x-1解析:A
3、中函数对应关系不同;C,D中函数定义域均不同;B中函数是相等的.答案:B6.若函数f(x)=ax2+(a-2b)x+a-1是定义在区间(-a,0)(0,2a-2)内的偶函数,则fa2+b25=()A.1B.3C.52D.72解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,则-a+2a-2=0,解得a=2.又偶函数不含奇次项,所以a-2b=0,即b=1.所以f(x)=2x2+1,所以fa2+b25=f(1)=3.答案:B7.函数y=f(x)与y=g(x)的图象分别为,则函数y=f(x)g(x)的图象可能是()解析:由题图可知,y=f(x)的定义域为R,图象关于y轴对称,是偶函数;而y=g(x)的定义域为(
4、-,0)(0,+),图象关于原点对称,是奇函数,所以y=f(x)g(x)的定义域为(-,0)(0,+),且为奇函数,所以函数y=f(x)g(x)的图象关于原点对称,故选D.答案:D8.已知函数f(x)=x2+mx+1在区间(-,-1上是减函数,在区间1,+)内是增函数,则实数m的取值范围是()A.-2,2B.(-,-2C.2,+)D.R解析:二次函数图象的对称轴是直线x=-m2,则由题意可得-1-m21,所以-2m2.答案:A9.设奇函数f(x)在区间(0,+)内为增函数,且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)x0的解集为()A.(-1,0)(1,+)B.(-,-1)(0,1)C.(-,
5、-1)(1,+)D.(-1,0)(0,1)解析:f(x)为奇函数,且f(x)在(0,+)内为增函数,f(1)=0,f(x)在(-,0)上为增函数,且f(-1)=-f(1)=0,f(x)-f(-x)x0可化为f(x)x0时,f(x)0,即f(x)f(1),x1,故0x1;当x0,即f(x)f(-1),x-1,故-1x0.综上,原不等式的解集为(-1,0)(0,1).答案:D10.若一系列的函数解析式相同、值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同型异构”函数.那么函数解析式为y=-x2,值域为-1,-9的“同型异构”函数有()A.10个B.9个C.8个D.7个解析:由题意,得x从-1,1中至少取
6、一个,从3,-3中至少取一个,故定义域中至少有2个元素,最多有4个元素,分别为-1,-3,-1,3,1,-3,1,3,-1,1,-3,-1,1,3,-1,-3,3,1,-3,3,-1,1,3,-3,共9个.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知函数f(x)=3x+1,x3,则f(f(1)=_.解析:f(1)=3+1=4,f(f(1)=f(4)=4=2.答案:212.已知集合A=0,1,2,B=x|ax2+(1-a)x-1=0,若BA,则a的取值集合是.解析:当a=0时,B=1,符合题意;当a0时,B=-1a,1.BA,-1a=2,a=-12
7、.故a的取值集合为0,-12.答案:0,-1213.已知函数f(x)是定义在区间-1,3上的减函数,且函数f(x)的图象经过点P(-1,2),Q(3,-4),则该函数的值域是.解析:f(x)的图象经过点P,Q,f(-1)=2,f(3)=-4.又f(x)在区间-1,3上是减函数,f(3)f(x)f(-1),即-4f(x)2,该函数的值域是-4,2.答案:-4,214.如图,定义在区间-1,+)内的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为.解析:当x-1,0时,设y=kx+b,由f(x)的图象得f(-1)=-k+b=0,f(0)=k0+b=1,解得k=1,b=1,y=
8、x+1;当x(0,+)时,设y=a(x-2)2-1,由f(x)的图象得0=a(4-2)2-1,解得a=14,y=14(x-2)2-1.答案:f(x)=x+1,x-1,0,14(x-2)2-1,x(0,+)15.已知函数y=f(x)在区间(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f52,f72的大小关系为_.解析:因为函数y=f(x+2)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(1)=f(3).因为函数y=f(x)在区间(0,2)上是增函数,所以函数y=f(x)在区间(2,4)上是减函数.因为2523724,则f72f(3)f5
9、2,即f72f(1)f52.答案:f72f(1)f52三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)设非空集合A=x|-2xa,B=y|y=2x+3,xA,C=y|y=x2,xA,全集U=R.(1)若a=1,求(RC)B;(2)若BC=B,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,A=x|-2x1,B=y|-1y5,C=y|0y4,RC=y|y4,(RC)B=y|-1y0,或42时,C=y|0ya2,a22a+3,解得-1a3,2a3.综合得12a3.17.(8分)已知函数f(x)=3x+5,x0,x+5,01.(1)求f32,f1,f(-1)的值;
10、(2)画出这个函数的图象;(3)求f(x)的最大值.解:(1)f32=(-2)32+8=5,f1=1+5=5+1,f(-1)=-3+5=2.(2)作出函数f(x)的图象,如图所示.(3)由函数f(x)的图象可知,当x=1时,f(x)取得最大值为6.18.(9分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,函数的解析式为f(x)=2x-1.(1)求f(-1)的值;(2)求当x0时函数的解析式;(3)用定义证明f(x)在区间(0,+)内是减函数.(1)解因为f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1)=2-1=1.(2)解当x0,所以f(-x)=2-x-1.又因为f(x)为偶函数,所以当x0时
11、,f(x)=f(-x)=2-x-1=-2x-1.(3)证明设x1,x2是区间(0,+)内的任意两个实数,且0x1x2,则f(x2)-f(x1)=2x2-1-2x1-1=2x2-2x1=2(x1-x2)x1x2.因为x1-x20,所以f(x2)-f(x1)f(x2).因此f(x)在区间(0,+)内是减函数.19.(10分)某商店经营的某种消费品的进价为每件14元,月销售量Q(单位:百件)与每件的销售价格p(单位:元)的关系如图所示,每月各种开支2 000元.(1)写出月销售量Q(单位:百件)关于每件的销售价格p(单位:元)的函数解析式.(2)写出月利润y(单位:元)与每件的销售价格p(单位:元)
12、的函数解析式.(3)当该消费品每件的销售价格为多少元时,月利润最大?并求出最大月利润.解:(1)由题意,得Q=-2p+50,14p20,-32p+40,20p26.(2)当14p20时,y=100(p-14)(-2p+50)-2 000,即y=-200(p2-39p+360).当20p26时,y=100(p-14)-32p+40-2 000,即y=-50(3p2-122p+1 160).所以y=-200(p2-39p+360),14p20,-50(3p2-122p+1 160),20p26.(3)由(2)中的解析式和二次函数的知识,可得当14p20时,则p=392,y取到最大值,为4 050;
13、当20p26时,则p=613,y取到最大值,为12 0503.又12 05030时,0f(x)1.求证:(1)f(0)=1,且当x1;(2)f(x)在R上是减函数.证明(1)f(m+n)=f(m)f(n),m,n为任意实数,取m=0,n=2,则有f(0+2)=f(0)f(2).又当x0时,0f(x)1,f(2)0,f(0)=1.当x0,0f(-x)1.取m=x,n=-x,则f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)=1,f(x)=1f(-x)1.(2)由(1)及题设可知,在R上,f(x)0.设x1,x2R,且x1x2,则x1-x21,f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)-1f(x2).f(x1-x2)-10,f(x2)0,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在R上是减函数.
