1、第5讲 函数的奇偶性和周期性知识梳理1函数的奇偶性的定义：对于函数的定义域内任意一个，都有或，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。对于函数的定义域内任意一个，都有或，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）1 函数的周期性命定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。重、难点突破重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用难点：函数的奇偶性的判断 函
2、数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.注意若,则既是奇函数又是偶函数,若,则是偶函数；若是奇函数且在处有定义，则若在函数的定义域内有，则可以断定不是偶函数，同样，若在函数的定义域内有，则可以断定不是奇函数。2奇偶函数图象的对称性（1） 若是偶函数，则的图象关于直线对称；（2） 若是偶函数，则的图象关于点中心对称；3函数的周期性 周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：（1）函数值之和等于零型，
3、即函数对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是（2）函数图象有，两条对称轴型函数图象有，两条对称轴，即，从而得，故函数的周期是（3） 两个函数值之积等于，即函数值互为倒数或负倒数型若，则得，所以函数的周期是；同理若，则的周期是（4） 分式递推型，即函数满足由得，进而得，由前面的结论得的周期是热点考点题型探析考点1 判断函数的奇偶性及其应用题型1：判断有解析式的函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）；（3）；（4）思路点拨判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。解析 （1）函数的定义域x（，+），对称于原点.f（x）
4、=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f（x），f（x）=|x+1|x1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由0，得1x1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得故f（x）的定义域为1，0）（0，1，关于原点对称，且有x+20.从而有f（x）= =，f（x）=f（x）故f（x）为奇函数.（4）函数f（x）的定义域是（，0）（0，+），并且当x0时，x0，f（x）=（x）1（x）=x（1+x）=f（x）（x0）.当x0时，x0，f（x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函数f（x）为奇函数.【名师指引】函数的奇
5、偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则时) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件分段函数的奇偶性一般要分段证明.判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.题型2：证明抽象函数的奇偶性例2 （09年山东梁山）定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有. 求证f (x)为奇函数；思路点拨欲证明为奇函数，就要证明，但这是抽象函数，应设法充分利用条件“对任意的，都有”中的进行合理“赋值”解析令x = y = 0，则f (0) + f (0) = f (0) = 0令x(1, 1) x(1, 1) f (x) + f (x) = f () = f
6、 (0) = 0 f (x) =f (x) f (x) 在(1，1)上为奇函数【名师指引】对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f (x1) f (x2) = f (x1) + f (x2)新题导练1（09广东电白一中）设函数为奇函数，则_。解析0；由函数为奇函数得到，即所以2（高州中学09届训练题）已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（ ）A0；B；C1；D解析B；由函数是定义域为的偶函数得，并且，即，所以的值是03定义两种运算：，则是_函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个）解析奇；依和得，其定义域为，所以，可见
7、，是奇函数4已知函数（a、b、cZ）是奇函数,又，求a、b、c的值.解析；由f（x）=f（x），得bx+c=（bx+c）.c=0，由f（1）=2，得a+1=2b，由f（2）3，得3，解得1a2.又aZ，a=0或a=1.若a=0，则b=，与bZ矛盾.a=1，b=1，c=0.考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用例3 （普宁市城东中学09）已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。思路点拨欲求的取值范围，就要建立关于的不等式，可见，只有从出发，所以应该利用的奇偶性和单调性将外衣“”脱去。解析 是定义在上奇函数对任意有由条件得=是定义在上减函数，解得实数的取值范围是【名师指引】利用函数的奇偶
8、性可以求对称区间上的函数的表达式例4设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.思路点拨欲由f(2a2+a+1)f(3a22a+1)求a的取值范围，就要设法利用函数f(x)的单调性。而函数y=()是一个复合函数，应该利用复合函数单调性的判定方法解决解析设0x1x2,则x2x10，f(x)在区间(,0)内单调递增，f(x2)f(x1),f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1).f(x)在(0，+)内单调递减.由f(2a2+a+1)3
9、a22a+1.解之，得0a3.又a23a+1=(a)2.函数y=()的单调减区间是结合0a3,得函数y=()的单调递减区间为，3).【名师指引】偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，而奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。新题导练5（普宁市城东中学09届高三模拟）若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A.；B.C.； D.解析D；因为在内是增函数，所以当时，；当时，又因是奇函数，其图象关于原点对称，所以当时，；当时，可见的解集是6（2007天津改编）在上定义的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间
10、上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数解析 C；由知的图象关于直线对称，由在区间是减函数知在区间是增函数，又由及是奇函数，得到，进而得，所以是以4为周期的函数，故在上是减函数。7（普宁市城东中学09届高三模拟）定义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，。求在上的解析式解析当时，又为奇函数，当时，由有最小正周期4，综上，考点3 函数奇偶性、周期性的综合应用 例5 （09年惠州第三次调研考）已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则 _ 思路点拨欲求，应该寻找的一个起点值，发现的周期性解析由得到，从而得，可见是以4为周期的函数，从而，又由已知等式得又由是上
11、的偶函数得又在已知等式中令得，即所以【名师指引】近年将函数的奇偶性、周期性综合在一起考查逐步成为一个热点，解决问题的关键是发现函数的周期性（奇偶性）。新题导练8（执信中学09届训练题）设是定义在上的正值函数,且满足.若是周期函数,则它的一个周期是（ ） .；.；.；.解析；由是定义在上的正值函数及得，所以，即的一个周期是69（06年安徽改编）函数对于任意实数满足条件，若则_解析；由得，进而得所以备选例题：（05年广东）设函数，且在闭区间上，只有 （）试判断函数的奇偶性； （）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.解析 （）方法一：若是偶函数，则于是有，这与在闭区间上，只有矛盾故不是偶函
12、数；若是奇函数，则，这与在闭区间上，只有矛盾，故若不是奇函数所以既不是偶函数，也不是奇函数方法二：因为在闭区间上，只有故，即不是奇函数又由知，而，所以，又所以，可见不是偶函数所以既不是偶函数，也不是奇函数（）方法一：因为所以，即所以，即又，所以和都是方程的根由和及得到故方程在闭区间上的根至少有802个如果存在使得，则但，这与在闭区间上，只有矛盾故在上只有两个根，即和设是方程在闭区间上任意一个根，则存在整数，使得，且由上可知或，所以或（）所以故方程在闭区间上仅有802个根方法二：由知是周期为10的函数，由知的图象关于直线对称又因为在上仅有所以在上没有根即在上只有两个根，即和于是，在内只有400个
13、根，在上仅有2个根，在内仅有400个根，在上没有根。所以故方程在闭区间上仅有802个根抢分频道基础巩固训练：1（普宁市城东中学09届月考）已知是定义在R上的函数，且满足，则“为偶函数”是（ ）“2为函数的一个周期”的 ( )A充分不必要条件；B必要不充分条件；C充要条件；D既不充分也不必要条件解析C；由得若为偶函数，则，即2为函数的一个周期；若2为函数的一个周期，则，又由得，所以，即为偶函数2（汕头市金山中学09年模拟）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A；B； C；D解析D；因为为偶函数，故，又，在上是增函数，所以3（09年深圳翠园、宝安中学）设函数 (xR)为奇函数，则（
14、 ）A0；B1； C；D5解析C；特取，则4（湛江市09年高三调研）函数在其定义域内是( ) A. 是增函数又是偶函数；B. 是增函数又是奇函数C. 是减函数又是偶函数；D. 是减函数又是奇函数解析B；因为，故是奇函数；又，可见是增函数，所以应选B5（中山市09年高三统考）偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，则不等式的解集为（ ）A；BC；D解析D；由已知条件通过的草图得知函数的值在、上都为正，在、上为负，故不等式的解集为6（09年深圳九校联考）已知是定义域为R的奇函数，若当时，则满足的的取值范围是 解析；当时，由已知条件得，又是定义域为R的奇函数，故得，即当时由得；当时由得综合提高训练
15、：7设是上的奇函数，当时，则为 解析 ；由得，故是以4为周期的函数，故，又是上的奇函数，且当时，所以8（四会中学高三09年月考）符号表示不超过的最大整数，如，定义函数给出下列四个命题：函数的定义域是R，值域为；方程有无数个解;函数是周期函数；函数是增函数其中正确命题的序号有（ ）A；B；C；D解析 C；依据函数的定义知函数的定义域是R，但，故错误；而方程，即方程有无数个解，故正确；由于当取整数时，都有，所以函数不是增函数，即是错误的，从而应选C9.（08年辽宁改编）设是连续的偶函数,且当时是单调函数,求满足的所有之和 解析 ；根据题意，由已知得，又是连续的偶函数,且当时是单调函数，故得或即 或的两根之和为，的两根之和为，所以所有根的和为
