1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲预览1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质4了解圆锥曲线的初步应用.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 命题探究1.圆锥曲线方程是历年高考命题的热点，考点要求掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程以及它们的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系椭圆、双曲线、抛物线的定义是每年必考的内容，多出现在选择题和填空题中直线和圆锥曲
2、线的位置关系，多是综合题，分值大约1213分，考查综合能力的应用，近几年与平面向量知识相综合，体现了较强的综合性2考查曲线的几何性质、标准方程等基础知识，直线与圆锥曲线的位置关系，求曲线的方程，关于圆锥曲线的最值问题，考查数形结合、等价转换、分类讨论、函数与方程、逻辑推理能力等数学思想方法加强了与其他知识(如平面向量)的综合，体现了学科间的综合应用.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第一节 椭圆Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求 1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性
3、质 2了解椭圆的参数方程 考试热点 1.以选择题、填空题的形式考查椭圆的定义、焦点坐标、离心率、标准方程等问题 2以解答题的形式考查椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1椭圆的定义 第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的 等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 第二定义：平面内与一个 和一条 的距离的比是常数e(e )的动点的轨迹叫做椭圆和定点F定直线l(F不在l上)(0,1)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2椭圆的标准方程和几何性
4、质 标准方程图形Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 性质焦点F1_，F2_F1 _，F2_焦距|F1F2|_范围_ _对称性对称轴：对称中心：顶点坐标A1 ，A2B1 ，B2A1 ，A2B1，B2axa，bybbxb，aya(c,0)(0，c)x轴、y轴原点(a,0)(0，b)(a,0)(0，b)(0，a)(0，a)(0，a)(0，a)(c,0)(0，c)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 性质轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b离心率e ，其中c准线准线方程是准线方程是焦半径P(x，y)是椭圆上任一点，则|PF1|，|PF2|P(
5、x，y)是椭圆上任一点，则|PF1|，|PF2|(0,1)aexaeyaeyaexCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3.参数方程 椭圆1(ab0)的参数方程是(为参数)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1已知定点A(2,0)，B(4,0)，且动点M满足|MA|MB|6，则点M的轨迹是 ()A直线 B椭圆 C圆D线段 解析：因为|MA|MB|AB|6，所以M的轨迹是线段AB.故选D.答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于()A.13B.33C.12D.32答案
6、：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3如果方程x2ky22表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_ 答案：(0,1)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4椭圆 1(ab0)的焦点F1、F2，两条准线与x轴的交点为M、N，若|MN|2|F1F2|，则该椭圆离心率的取值范围是_Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5已知P(3,4)是椭圆 1(ab0)上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若PF1PF2，试求：(1)椭圆方程；(2)PF1F2的面积Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：(1)解
7、法一：令 F1(c,0)，F2(c,0)PF1PF2，1，即 43c 43c1，解得 c5，椭圆方程为x2a2y2a2251.点 P(3,4)在椭圆上，9a216a2251，解得 a245 或a25.又 ac，a245，故所求椭圆方程为x245y2201.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法二：PF1PF2，PF1F2 为直角三角形，|OP|12|F1F2|c.又|OP|32425，c5，椭圆方程为x2a2y2a2251.以下同解法一(2)解法一：P 点的纵坐标的值即为 F1F2 边上的高，12|F1F2|41210420.解法二：由椭圆定义知|PF1|PF2|6
8、5又|PF1|2|PF2|2|F1F2|22得 2|PF1|PF2|80，12|PF1|PF2|20.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 椭圆定义的运用例 1(2009上海高考)已知 F1、F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且PF1 PF2，若PF1F2 的面积为 9，则 b_.分析 本题中，PF1F2是一个面积等于9的直角三角形，分析这个三角形的特点解决Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析 设椭圆的焦点坐标为(c,0)，根据椭圆定义和
9、PF1F2 是一个面积等于 9 的直角三角形，有|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|18，|PF1|2|PF2|24c2.第一式两端平方并把第二、三两式代入，可得 4c2364a2，即 a2c29，即 b29，即 b3.故填 3.答案 3Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 本题中椭圆的焦点三角形两条直角边之和等于常数 2a，之积等于常数 18，但本题中 b 的值与 a 没有直接关系，只要圆 x2y2a2b2与椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)存在公共点，这个 b 值就是一个确定的常数，且满足 b2.Copyright 2004-2009 版权所有 盗
10、版必究 已知 A(12，0)，B 是圆 F：(x12)2y24(F 为圆心)上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹方程为_Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：由已知，动点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，则|PA|PF|PB|PF|2|OA|OF|1，动点 P 的轨迹是椭圆，这个椭圆的焦点是 A(12，0)和 F(12，0)，定长 2a2，因而动点 P 的轨迹方程为 x243y21.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 求椭圆的标准方程例 2(1)椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形
11、，焦点到椭圆上的点的最短距离是 3，求这个椭圆的方程；(2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为4 53 和2 53，过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程；(3)求经过两点 A(0,2)和 B(12，3)的椭圆的标准方程Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上，而椭圆x2a2y2b21(ab0)上的点 P(x，y)到焦点 F(c,0)的距离为|PF|(a2cx)eaex，当 xa 时，|PF|minac.由题设条件可知 a2c，b 3c，又 ac 3，解得 a212，b29，所
12、求椭圆的方程是x212y29 1 或x29y2121.(2)设椭圆的两焦点分别为 F1、F2，|PF1|4 53，|PF2|2 53.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 由椭圆的定义知 2a|PF1|PF2|4 53 2 53 2 5，即 a 5.由|PF1|PF2|，知 PF2 垂直于长轴所以在RtPF2F1 中，4c2|PF1|2|PF2|2609，c253，于是 b2a2c2103.又由于所求的椭圆的焦点可以在 x 轴上，也可以在 y 轴上，故所求椭圆的方程为x25 3y2101 或3x210 y251.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(
13、3)设经过两点 A(0,2)，B(12，3)的椭圆标准方程为 mx2ny21，将 A、B 两点坐标代入得4n114m3n1m1n14，所求椭圆标准方程为 x2y241.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上，直线yx1 与椭圆交于 P 和 Q，且 OPOQ，|PQ|102，求椭圆方程Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：设椭圆方程为 mx2ny21(m0，n0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由yx1mx2ny21得(mn)x22nxn10，4n24(mn)(n1)0，即 mnmn0，由 OPOQ
14、，所以 x1x2y1y20，即 2x1x2(x1x2)10，2(n1)mn 2nmn10，mn2又 24(mnmn)(mn)2(102)2，Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 将 mn2 代入，得 mn34由、式得 m12，n32或 m32，n12，故椭圆方程为x22 32y21 或32x212y21.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 椭圆的几何性质 图 1例 3(2009江苏高考)如图 1 所示，在平面直角坐标系xOy 中，A1，A2，B1，B2 为椭圆x2a2y2b21(ab0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线 A1B2 与直线 B1F 相
15、交于点 T，线段 OT与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为_Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 分析 关键是找到a，c所满足的方程，根据点M在椭圆上解决Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解 设 F(c,0)，则 c2a2b2.由题意得：直线 A1B2 的方程为：xayb1，直线 B1F 的方程为：xc yb1.二者联立解得：T2acac，b(ac)ac，则 M 点坐标为acac，b(ac)2(ac)，又 M 点在椭圆x2a2y2b21(ab0)上，所以c2(ac)2(ac)24(ac)21，整理得 c210ac3a20，
16、即e210e30，解得 e2 75.故填 2 75.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 本题考查椭圆、两直线的位置关系等基础知识，同时考查考生运算求解能力和方程思想的运用试题设计的思路非常明确，就是求出两条直线的交点坐标后，根据中点坐标公式求出点M的坐标，代入椭圆方程得到一个关于a，c的齐次方程，从而转化为关于离心率的方程解决本题解题思路明确，出错的地方主要有两处：一是基础知识不牢，求错椭圆的顶点、用错直线的截距式方程等；二是运算出错，如求错两直线的交点坐标、将点M的坐标代入椭圆方程化简出错、解错最后的一元二次方程等平面解析几何题一般具有较大的运算量，在解题时
17、细心运算是必须的Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2009重庆高考)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1(c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点 P 使asinPF1F2csinPF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为_ Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：根据已知条件PF1F2，PF2F1 都不等于 0，即点P 不是椭圆的左、右顶点，故 P，F1，F2 构成三角形在PF1F2中，由正弦定理得PF2sinPF1F2PF1sinPF2F1，则由已知，得 aPF2cPF1，即 aPF1cPF2.设点 P(x0，y0)
18、，由焦点半径公式，得 PF1aex0，PF2aex0，则 a(aex0)c(aex0)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 椭圆的综合问题例 4 椭圆x2a2y2b21(ab0)的两个焦点为F1(c,0)、F2(c,0)，M 是椭圆上一点，满足F1M F2M 0.(1)求离心率 e 的取值范围；(2)当离心率 e 取得最小值时，点 N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为 5 2.求此时椭圆的方程Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)设点 M 的坐标为(x，y)，则F1M(xc，y)，F
19、2M(xc，y)由F1M F2M 0，得 x2c2y20，即 y2c2x2又由点 M 在椭圆上得 y2b2(1x2a2)，代入得 b2(1x2a2)c2x2，所以 x2a2(2a2c2)，0 x2a2,0a2(2a2c2)a2，即 02a2c21,021e21，解得 22 e1，又0e1，22 e1.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)当离心率 e 取最小值 22 时，ca 22 c 22 a，a2b2c2a2b212a2a22b2，椭圆方程可表示为 x22b2y2b21，设点 H(x，y)是椭圆上的一点，则|HN|2x2(y3)2(2b22y2)(y3)2(y3)
20、22b218(byb)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 若 0b3，当 yb 时，|HN|2 有最大值b26b9.由题意知：b26b950，b5 23，这与 0bb0)的右焦点为 F，上顶点为 A，过 A点与 AF 垂直的直线分别交椭圆与 x 轴负半轴于 M、N 两点，且AM 85MN.(1)求椭圆的离心率；(2)过 A、N、F 三点的圆恰好与直线 l：x 3y30 相切，求椭圆方程图2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)设 N(x0,0)，由F(c,0)，A(0，b)知FA(c，b)，AN(x0，b)FAAN，cx0b20，x0b2c
21、.设 M(x1，y1)由AM 85MN 得 x185x01858b213cy1 b1855b13Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 M 在椭圆上，(8b213c)2a2(513b)2b21 整理得 2b23ac即 2(a2c2)3ac，两边同除以 a2，得 22e23e即 2e23e20，解得 e12或 e2(舍去)椭圆的离心率为12.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)由 2b23acca12得 ca2，F(a2，0)，N(32a,0)AFN 外接圆圆心为(12a,0)，半径为 a，圆与直线 x 3y30 相切，|a23|2a，解得 a2，
22、c1，b 3，椭圆方程为x24 y231.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1求椭圆标准方程的常用方法及注意问题(1)求椭圆标准方程除了直接用定义外，常用待定系数法(2)确定椭圆标准方程包括“定位”和“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常用待定系数法Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(3)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设为x2my2n 1(m0
23、，n0)，可避免讨论和繁杂的计算，也可设为 Ax2By21(A0，B0)，这种形式在解题中较为方便2椭圆中的“点”和“线”(1)椭圆中有“四线”(两条对称轴、两条准线)，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如准线垂直Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 于长轴所在的直线、焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如中心到准线的距离为a2c；两准线间的距离为2a2c；焦点到相应顶点的距离为 ac，到相应准线的距离为a2c cb2c；过焦点垂直于长轴的通径长为2b2a 等)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)设椭圆x2a2y2b21(
24、ab0)上任意一点 P(x，y)，则当 x0时，|OP|有最小值 b，这时，P 在短轴端点处；当 xa 时，|OP|有最大值 a，这时 P 在长轴端点处(3)椭圆上任意一点 P(x，y)(y0)与两焦点 F1(c,0)，F2(c,0)构成的PF1F2 称为焦点三角形，其周长为 2(ac)(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中 a 是斜边，a2b2c2.(5)当给定直线 l：xx0 及点 F(m，n)时，则以 F(m，n)为焦点，l 为对应准线，离心率为 e 的椭圆方程是(xm)2(yn)2|xx0|e，不能武断地认为椭圆中心在坐标原点 O.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
