1、目标导航1掌握曲线切线的概念，理解切线的斜率的含义和求法；2通过对曲线的切线形成过程的分析，理解数学概念的发生定义方式，认识数学推理的严密性和科学性；3结合导数的几何意义，会求曲线yf(x)在某点处的切线方程；4了解导函数的定义1 新知识预习探究 知识点一 导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义，就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率k，即kf(x0)limx0fx0 xfx0 x.【练习 1】设 f(x0)0，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在 B与 x 轴平行或重合C与 x 轴垂直D与 x 轴斜交答案：B知识点二 导函数 从
2、求函数f(x)在xx0处导数的过程可以看出，当xx0时，f(x0)是一个确定的数这样，当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)yf(x)的导函数有时也记作y，即f(x)ylimx0fxxfxx.【练习2】函数y3x26x的导数是()A6 B6x26C3x6 D6x6解析：ylimx0fxxfxxlimx03xx26xx3x26xxlimx03x26xx6xxlimx0 3x6(x1)6x6.答案：D知识点三 利用导数求曲线的切线方程利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线
3、方程为yf(x0)f(x0)(xx0)【练习3】求曲线yx2在点(1,1)处的切线方程为_解析：过点(1,1)的切线的斜率为f(1)limx0f1xf1xlimx01x21xlimx0(2x)2，故所求切线的方程为y12(x1)，即2xy10.答案：2xy102 新视点名师博客1.导数的几何意义与切线的关系(1)若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直(2)曲线的切线与直线和圆相切时的切线不一样，直线与圆相切时，有且只有一个公共点，而曲线在某点处的切线只是在切点附近区域上只有一个公共点(3)若f(x0)0，则切线的倾斜角为锐角；若f(x0)0，则切线的
4、倾斜角为钝角；若f(x0)0，则切线与x轴平行或重合2函数在某一点处的导数与函数的导数的区别与联系(1)函数在一点处的导数，就是该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数(2)函数的导数是对某一区间内任意一点x而言的，就是函数f(x)的导数f(x)(3)函数yf(x)在x0处的导数，就是导函数f(x)在点xx0处的导数值.3 新课堂互动探究考点一 求导函数 例1 分别求下列函数的导函数及在x1处的导数：(1)y4x2；(2)y1x x.解析：(1)y4xx24x24x2xxx2xx2，yx4 2xxx2xx2，ylimx0yxlimx0 4 2xxx2xx2 8x
5、3，y|x18.(2)y1xx xx1x x1xx1x(x xx)xxxxxx xx，yx1xxx1x xx，ylimx0yxlimx0 1xxx1x xx 1x2 12 x，y|x1112 32.点评：函数在一点处的导数就是在该点的函数改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数在求法上可以利用定义求，也可先求导函数，再求导函数在该点的函数值变式探究 1 求函数 f(x)x23x 在 x2 处的导数解析：由导数的定义知，函数在 x2 处的导数f(2)limx0f2xf2x，而 f(2x)f(2)(2x)23(2x)2(x)2x，于是 f(2)limx0 x2xxlimx0(x1
6、)1.考点二 求曲线的切线方程例2 已知曲线y13x343.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程解析：(1)点P(2,4)在曲线y13x343上，且ylimx013xx34313x343xlimx0 x2xxx213x3xlimx0 x2xx13x2 x2，在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x2224，曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线y13x343与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x3043，则切线的斜率ky|0 xx x20，切线方程为y13x3043 x20
7、(xx0)，即yx20 x23x3043.点P(2,4)在切线上，42x2023x3043，即x303x2040，x30 x204x2040，即x20(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率kx204，x02，故切点为(2,4)，2，43，切线方程为y44(x2)和y434(x2)，即4xy40和12x3y200.点评：(1)(ab)3(ab)2(ab)a33a2b3ab2b3.(2)“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点不一定是切点，在某点处的切线才
8、表明此点是切点变式探究2 试求过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程解析：可以验证P(3,5)不在曲线yx2上，设切点为A(x0，y0)y|0 xx limx0 x0 x2x20 xlimx0 x202x0 xx2x20 x2x0故所求直线方程为：yy02x0(xx0)由P(3,5)在所求直线上得5y02x0(3x0)再由A(x0，y0)在曲线yx2上得y0 x20联立得：x01或x05.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)当切点为(1,1)时，切线的斜率为k12x02，此时切线方程为y12(x1)，即y2x1.当切点为(5,25)时，切线的斜率为k22x010，此时切线方程为y2
9、510(x5)，即y10 x25.综上所述：过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程为y2x1和y10 x25.考点三求切点坐标例3已知抛物线y2x21分别满足下列条件，请求出切点的坐标(1)切线的倾斜角为45.(2)切线平行于直线4xy20.(3)切线垂直于直线x8y30.解析：设切点坐标为(x0，y0)，则y2(x0 x)212x2014x0 x2(x)2，yx4x02x，当x0时，yx4x0，即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为45，斜率为tan451.即f(x0)4x01，得x014，切点的坐标为14，98.(2)抛物线的切线平行于直线4xy20，k4，即f(x0)4x
10、04，得x01，切点坐标为(1,3)(3)抛物线的切线与直线x8y30垂直，则k18 1即k8，故f(x0)4x08，得x02，切点坐标为(2,9)点评：求切点坐标可以按以下步骤进行：(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标变式探究3(1)已知曲线y2x27在点P处的切线方程为8xy150，求切点P的坐标(2)在曲线yx2上哪一点处的切线，满足下列条件：平行于直线y4x5；垂直于直线2x6y50；与x轴成135的倾斜角分别求出该点的坐标解析：(1)设切点P(x0，y0)，由ylimx0yx
11、limx02xx272x27xlimx0(4x2x)4x，得ky|0 xx 4x0，根据题意4x08，x02，代入y2x27得y01.故所求切点为P(2,1)(2)f(x)limx0fxxfxxlimx0 xx2x2x2x，设P(x0，y0)是满足条件的点因为切线与直线y4x5平行，所以2x04，x02，y04，即P(2,4)因为切线与直线2x6y50垂直，所以2x0131，得x032，y094，即P32，94.因为切线与x轴成135的倾斜角，则其斜率为1.即2x01，得x012，y014，即P12，14.4 新思维随堂自测1.已知曲线y12x22上一点P1，32，则过点P的切线的倾斜角为()
12、A30 B45C135 D165解析：y12x22，ylimx0yxlimx0 x12x x，过点P的切线的斜率为1，过点P的切线的倾斜角为45.答案：B2设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于()A1 B.12C12 D1解析：依题意，曲线yax2在(1，a)处的切线斜率等于2，即y|x12，所以有limx0a1x2a12x2，所以2a2，解得a1.答案：A3已知函数f(x)ax2c，且f(1)2，则a的值为()A1 B.2 C1 D0解析：f(x)ax2c，f(1)limx0a1x2cacxlimx0(2aax)2a2，a1.答案：A4曲线yx22x3在点A(1,6)处的切线方程是_解析：yx22x3，切点A(1,6)，斜率ky|x1limx01x221x3123xlimx0(x4)4.切线方程为y64(x1)，即4xy20.答案：4xy205已知曲线yx2bxc在点(1,2)处的切线与直线bxyc0平行，求两平行线间的距离解析：yx2bxc，y|x1limx01x2b1xc1bcxlimx0(2bx)2b，曲线在点(1,2)处的切线斜率k2b.又切线与直线bxyc0平行，2bb，得b1，k1.将点(1,2)代入yx2xc，得c2.由切线斜率k1，得切线方程为y2x1，即xy10.两平行线xy10与xy20间的距离为d|21|23 22.
