1、第3讲分类讨论思想1 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度2 分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等(3)由数学
2、运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用3 分类讨论的原则(1)不重不漏(2)标准要统一，层次要分明(3)能不分类的要尽量避
3、免或尽量推迟，决不无原则地讨论4 解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论(2)对所讨论的对象进行合理的分类(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.类型一由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论例1(1)若函数f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.(2)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_答案(1)(2)解析(1)讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值若a1，有a24，a1m，此时a2，m，此时g(x)为减函数，不合
4、题意若0a0时，1a1.这时f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a13a.由f(1a)f(1a)得2a13a，解得a.不合题意，舍去当a1,1a0，即m0，它在0,1上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)f(0)m，f(1)22m，当m22m，又m，即m时，ymaxm.当m22m，又m，即m时，ymax2(1m)当43m时，二次函数y的图象开口向下，又它的对称轴方程xPF2，则的值为_答案2或解析若PF2F190，则PFPFF1F，PF1PF26，F1F22，解得PF1，PF2，.若F2PF190，则F1FPFPFPF(6PF1)2，解得
5、PF14，PF22，2.综上所述，2或.类型三由参数变化引起的分类讨论例3已知函数f(x)ln xax(0a1)，讨论函数f(x)的单调性解f(x)a，x(0，)由f(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x21.(1)若0ax1.当0x1时，f(x)0；当1x0.故此时函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是.(2)若a，则x1x2，此时f(x)0恒成立，且仅在x处等于零，故此时函数f(x)在(0，)上单调递减；(3)若a1，则0x2x1，当0x1时，f(x)0；当1x0.故此时函数f(x)的单调递减区间是，(1，)，单调递增区间是. 含有参数的问题，主要包括：(1)含有参数的
6、不等式的求解；(2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类要合理，要不重不漏，要符合最简原则 设a0，函数f(x)x2(a1)xa(1ln x)(1)求曲线yf(x)在(2，f(2)处与直线yx1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解(1)由已知x0，f(x)x(a1)，因为曲线yf(x)在(2，f(2)处切线的斜率为1，所以f(2)1，即2(a1)1，所以a0，此时f(2)220，故曲线f(x)在(2，f(2)处的切线方程为xy20.(2)f(x)
7、x(a1).当0a0，函数f(x)单调递增；若x(a,1)，f(x)0，函数f(x)单调递增此时xa是f(x)的极大值点，x1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)a2aln a，极小值是f(1)；当a1时，若x(0,1)，f(x)0，若x1，f(x)0，若x(1，)，f(x)0，所以函数f(x)在定义域内单调递增，此时f(x)没有极值点，也无极值当a1时，若x(0,1)，f(x)0，函数f(x)单调递增；若x(1，a)，f(x)0，函数f(x)单调递增，此时x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)，极小值是f(a)a2aln a；综上，
8、当0a1时，f(x)的极大值是，极小值是a2aln a.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机确定分类的标准逐类进行讨论归纳综合结论检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集的讨论(2)函数：对数或指数函数中的底数a，一般应分a1和0a1的讨论；等比数列中分公比q1和q1的讨论(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论(6)立体几何
9、：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b0和b0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论(7)(理排列、组合、)概率中的分类计数问题(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.1 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为_答案4或解析分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况2 等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值是_答案1或解析当公比q1时，a1a2a37，S33a121，符合要求当q1时，a1q27，21，解之得，q.3 若x0且x1，则函数ylg xlogx10的值域为_答案(，2
10、2，)解析当x1时，ylg xlogx10lg x22；当0x4不符合要求A、B在左、右两支上，有两条所以共3条5函数f(x)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是_答案0,4解析因为函数f(x)的定义域为一切实数，所以mx2mx10对一切实数恒成立，当m0时，原不等式即10对一切实数恒成立，当m0时，则需，解得00)图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为_答案，1解析PA2(xa)22x22ax2a2a222a2a222a22由x0，得x2，由已知条件或解得a，或a1.8 已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1 (q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设数列an的公差为d，由已知，得解得故an3(n1)4n.(2)由(1)可得bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1.若q1，将上式两边同乘q，得qSn1q12q2(n1)qn1nqn.两式相减，得(q1)Snnqn1q1q2qn1nqn.于是，Sn.若q1，则Sn123n.综上，Sn
