1、课后素养落实(二十九)抛物线的简单几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1若抛物线y24x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为()A4B5C6D7A由题意，知抛物线y24x的准线方程为x1，抛物线y24x上一点P到x轴的距离为2，则P(3，2)，点P到抛物线的准线的距离为314，点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A2F是抛物线y22x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|BF|8，则线段AB的中点到y轴的距离为()A4B C3DD抛物线y22x的焦点F，准线方程为x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义得|AF|BF|x1x28，所以x1x27，所以
2、线段AB中点的横坐标为，所以线段AB的中点到y轴的距离为.故选D3过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在B由抛物线性质知|AB|527，当线段AB与x轴垂直时，|AB|min4，这样的直线有两条4抛物线y24x与直线2xy40交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|FB|等于()A2B3 C5D7D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|FB|x1x22.由得x25x40，x1x25，x1x227.5已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB
3、|12，P为C的准线上的一点，则ABP的面积为()A18B24 C36D48C不妨设抛物线方程为y22px(p0)，依题意，lx轴，且焦点F，当x时，|y|p，|AB|2p12，p6，又点P到直线AB的距离为p6，故SABP|AB|p12636.二、填空题6直线yx1被抛物线y24x截得的线段的中点坐标是_(3,2)将yx1代入y24x，整理，得x26x10.由根与系数的关系，得x1x26，3，2.所求点的坐标为(3,2)7已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|_.6如图，过点M作MMy轴，垂足为M，|OF|2，M为FN的中点，|
4、MM|1，M到准线距离d|MM|3，|MF|3，|FN|6.8已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x1的距离相等，点A的轨迹与过点P(1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是_(，1)(1，)依题意得点A的轨迹为抛物线y24x.过点P(1,0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)，由得ky24y4k0，当k0时，显然不符合题意；当k0时，依题意得(4)24k4k0，解得k1或k0)，设A(x0，y0)，由题意知M，|AF|3，y03，|AM|，x17，x8，代入方程x2py0得，82p，解得p2或p4.所求抛物线的标准方程为x24y或x28y.10已知抛物线C：y2x2和直线l：yk
5、x1，O为坐标原点(1)求证：l与C必有两交点(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值解(1)证明：联立抛物线C：y2x2和直线l：ykx1，可得2x2kx10，所以k280，所以l与C必有两交点(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，将y1kx11，y2kx21，代入，得2k1，由(1)可得x1x2，x1x2，代入得k1.1从抛物线y24x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则PMF的面积为()A5B10 C20DB设P(x0，y0)，则|PM|x015，解得x04，则y4416，则|y0|4，故SMPF5|y0|10
6、.故选B2设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过点M(2,0)且与C交于A，B两点，|BF|.若|AM|BM|，则实数()AB2 C4D6C由题意得抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x1，由|BF|及抛物线的定义知点B的横坐标为，代入抛物线方程得B.根据抛物线的对称性，不妨取B，则直线l的方程为y(x2)，联立得A(8,4)，于是4.故选C3直线yx3与抛物线y24x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_48由消去y得x210x90，得x1或9，即或所以|AP|10，|BQ|2或|BQ|10，|AP|2，所以|PQ|8，所以梯形APQB的
7、面积S848.4已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.则抛物线C的方程为_；若抛物线C与直线ykx2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，则k_.y28x2由题意设抛物线方程为y22px，其准线方程为x，根据定义可得46，所以p4，所以抛物线C的方程为y28x.由消去y，得k2x2(4k8)x40.由k0，64(k1)0，解得k1且k0.又2，解得k2或k1(舍去)，所以k的值为2.点M(m,4)(m0)为抛物线x22py(p0)上一点，F为其焦点，已知|FM|5.(1)求m与p的值(2)以M点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求FMN的面积解(1)由抛物线定义知，|FM|45，所以p2.所以抛物线的方程为x24y，又由M(m,4)在抛物线上，所以m4.故p2，m4.(2)设过M点的切线方程为y4k(x4)，代入抛物线方程消去y得，x24kx16k160，其判别式16k264(k1)0，所以k2，切线方程为y2x4，切线与y轴的交点为N(0，4)，抛物线的焦点F(0,1)，所以SFMN|FN|m5410.
