1、2015-2016学年山东省烟台市牟平一中高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合M=2，1，0，1，2，N=x|x23，则MN等于（）AB1，1C2，2D1，0，12设向量与的夹角为60，且，则等于（）ABCD63直线（12a）x2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（）ABCD4下列函数中，不是偶函数的是（）Ay=x2+4By=|tanx|Cy=cos2xDy=3x3x5等差数列an的前n项和为Sn，若S3=6，a1=4，则S5等于（）A2B0C5D106设a，b，l均为不
2、同直线，均为不同平面，给出下列3个命题：若，a，则a；若，a，b，则ab可能成立；若al，bl，则ab不可能成立其中，正确的个数为（）A0B1C2D37某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）AB2CD38圆C：（x+2）2+y2=32与抛物线y2=2px（p0）相交于A、B两点，若直线AB恰好经过抛物线的焦点，则p等于（）ABC2D49已知函数的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A=2BC函数f（x）的图象关于（，0）对称D函数f（x）的图象向右平移个单位后得到y=Asinx的图象10若关于x的方程|x4x3|=ax在R上存在4个不同的实根，则实数a的取值范围为（）ABCD二
3、、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11已知函数则f（f（2）=12设Sn为数列an的前n项和，若Sn=8an1，则=13若x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为14若双曲线的实轴长是离心率的2倍，则m=15设向量若对任意恒成立，则的取值范围为三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60，3sinA=sinB（1）若ABC的面积为，求b的值；（2）求cosB的值17在等差数列an中，公差d0，a1=7，且a2，a5，a10成等比数列（1）求数列an的通项公式及其前n项和Sn；（
4、2）若，求数列bn的前n项和Tn18如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ACB1D，BB1底面ABCD，E、F、H分别为AD、CD、DD1的中点，EF与BD交于点G（1）证明：平面ACD1平面BB1D；（2）证明：GH平面ACD119设函数的最小正周期为，设向量，（1）求函数f（x）的递增区间；（2）求函数g（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若x0，2016，求满足的实数x的个数20已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切（1）求椭圆C的方程；（2）求椭圆C与直线y=kx（k0）在第一象限的交点为A设，且，求k的值；若A与D关于x的轴对称，
5、求AOD的面积的最大值21设a，bR，函数f（x）=ax2+lnx+b的图象在点（1，f（1）处的切线方程为4x+4y+1=0（1）求函数f（x）的最大值；（2）证明：f（x）x32x22015-2016学年山东省烟台市牟平一中高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合M=2，1，0，1，2，N=x|x23，则MN等于（）AB1，1C2，2D1，0，1【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可【解答】解：由
6、N中不等式解得：x，即N=（，），M=2，1，0，1，2，MN=1，0，1，故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2设向量与的夹角为60，且，则等于（）ABCD6【考点】平面向量数量积的运算【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用【分析】根据向量数量积的定义计算【解答】解：故选：B【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题3直线（12a）x2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（）ABCD【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】由题意可得3（12a）2=0，解方程可得【解答】解：直线（12a）
7、x2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，3（12a）2=0，故选：B【点评】本题考查直线的一般式方程和直线的垂直关系，属基础题4下列函数中，不是偶函数的是（）Ay=x2+4By=|tanx|Cy=cos2xDy=3x3x【考点】函数奇偶性的判断【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】逐一判断各个选项中所给函数的奇偶性，从而得出结论【解答】解：对于所给的4个函数，它们的定义域都关于原点对称，选项A、B、C中的函数都满足f（x）=f（x），故他们都是偶函数，对于选项D中的函数，满足f（x）=f（x），故此函数为奇函数，故选：D【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题5等
8、差数列an的前n项和为Sn，若S3=6，a1=4，则S5等于（）A2B0C5D10【考点】等差数列的前n项和【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，即可求出S5的值【解答】解：根据题意，设等差数列的公差为d，则且a3=a1+2d，又a1=4，解得d=2，a3=0；所以S5=5a3=50=0故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，是基础题目6设a，b，l均为不同直线，均为不同平面，给出下列3个命题：若，a，则a；若，a，b，则ab可能成立；若al，bl，则ab不可能成立其中，正确的个数为（）A0B1C2D3
9、【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】在中，a与平行、相交或a；在中，a，b有可能异面垂直；在中，由正方体中过同一顶点的三条棱得到ab有可能成立【解答】解：由a，b，l均为不同直线，均为不同平面，得：在中，若，则a与平行、相交或a，故错误；在中，若，a，b，则a，b有可能异面垂直，故ab可能成立，故正确；在中，若al，bl，则ab有可能成立，例如正方体中过同一顶点的三条棱，故错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体
10、积等于（）AB2CD3【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何【分析】几何体为正方体与三棱柱的组合体【解答】解：由三视图可知该几何体是一个正方体与三棱柱的组合体，正方体的棱长为1，三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边为1，棱柱的高为1所以几何体的体积V=13+=故选A【点评】本题考查了简单几何体的三视图，结构特征和体积计算，属于基础题8圆C：（x+2）2+y2=32与抛物线y2=2px（p0）相交于A、B两点，若直线AB恰好经过抛物线的焦点，则p等于（）ABC2D4【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题
11、意可得A（），代入圆的方程求得p值【解答】解：直线AB恰好经过抛物线的焦点，A，B的横坐标为，不妨设A（），则由A（）在圆C：（x+2）2+y2=32上，得，即5p2+8p112=0，解得：p=或p=4，p0，p=4故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了圆与圆锥曲线位置关系的应用，是中档题9已知函数的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A=2BC函数f（x）的图象关于（，0）对称D函数f（x）的图象向右平移个单位后得到y=Asinx的图象【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由函数的最值求出A，由周期求出，由特殊点的坐标求
12、出的值，再根据y=Asin（x+）的图象变换规律，从而得出结论【解答】解：根据函数的部分图象如图所示，可知，A=2，再根据f（0）=Asin=2sin=1，且，故函数f（x）的图象不关于对称，易得f（x）的图象向右平移个单位后得到y=Asinx的图象，故选：C【点评】本题主要考查利用y=Asin（x+）的图象特征，由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题10若关于x的方程|x4x3|=ax在R上存在4个不同的实根，则实数a的取值范围为（）ABCD【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】数
13、形结合；转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】根据方程和函数的关系转化为函数，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可【解答】解：当x=0时，0=0，0为方程的一个根当x0时，方程|x4x3|=ax等价为a=|x3x2|，令f（x）=x3x2，f（x）=3x22x，由f（x）0得0x，由f（x）0得x0或x，f（x）在上递减，在上递增，又f（1）=0，当x=时，函数f（x）取得极小值f（）=，则|f（x）|取得极大值|f（）|=，设的图象如下图所示，则由题可知当直线y=a与g（x）的图象有3个交点时0a，此时方程|x4x3|=ax在R上
14、存在4个不同的实根，故故选：A【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及导数法是解决本题的关键综合性较强，运算量较大二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11已知函数则f（f（2）=【考点】函数的值；分段函数的应用【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】由已知中函数，将x=2代入可得答案【解答】解：函数，f（2）=，f（f（2）=f（）=故答案为：【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题12设Sn为数列an的前n项和，若Sn=8an1，则=【考点】数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】利用递推关系、等比数列的性质即可得
15、出【解答】解：Sn=8an1，当n=1时，a1=8a11，解得a1=当n2时，an=SnSn1=（8an1）（8an11），化为=故答案为：【点评】本题考查了递推关系的应用、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13若x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为4【考点】简单线性规划【专题】计算题；作图题；数形结合；数形结合法；不等式【分析】由题意作平面区域，化目标函数z=2x+y为y=2x+z，从而利用截距求最值【解答】解：由题意作平面区域如下，目标函数z=2x+y可化为y=2x+z，故结合图象可知，当过点B（3，2）时，z有最小值为23+2=4；故答案为：4【点评】本题
16、考查了简单线性规划的一般解法，注意作图要认真，注意实线与虚线14若双曲线的实轴长是离心率的2倍，则m=【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用离心率公式，建立方程，即可求得双曲线的实轴长【解答】解：，且m0，解得或（舍去）故答案为：【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题15设向量若对任意恒成立，则的取值范围为【考点】平面向量数量积的运算【专题】数形结合；转化思想；三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】由于，即m2+m+68cos对任意m1，0恒成立当m1，0，利用二次函数的单调性可得（m2+m+6）max，再利
17、用三角函数的单调性即可得出【解答】解：，即m2+m+68cos对任意m1，0恒成立当m1，0，（m2+m+6）max=6，8cos6，cos（0，1，故答案为：【点评】本题考查了向量的数量积运算性质、二次函数的单调性、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60，3sinA=sinB（1）若ABC的面积为，求b的值；（2）求cosB的值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（1）由正弦定理化简已知可得3a=b，利用
18、三角形面积公式可得，进而解得a，b的值（2）由余弦定理可得，进而利用余弦定理即可解得cosB的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）在ABC中，3sinA=sinB，由正弦定理得，3a=b，a=2，b=6 （6分）（2）由余弦定理得， （12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题17在等差数列an中，公差d0，a1=7，且a2，a5，a10成等比数列（1）求数列an的通项公式及其前n项和Sn；（2）若，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（1）
19、利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（1）a2，a5，a10成等比数列，（7+d）（7+9d）=（7+4d）2，又d0，d=2， （7分）（2）由（1）可得， （12分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ACB1D，BB1底面ABCD，E、F、H分别为AD、CD、DD1的中点，EF与BD交于点G（1）证明：平面ACD1平面BB1D；（2）证明：GH平面ACD1【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直
20、的判定【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】（1）由BB1平面ABCD得ACBB1，又ACB1D，所以AC平面BB1D所以平面ACD1平面BB1D；（2）设ACBD=O，连OD1，由相似三角形得G为OD中点，由中位线定理得HGOD1，故GH平面ACD1【解答】证明：（1）BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1，又ACB1D，BB1平面BB1D，B1D平面BB1D，BB1B1D=B1，AC平面BB1DAC平面ACD1，平面ACD1平面BB1D （2）设ACBD=O，连OD1，E、F分别为AD、CD的中点，DEFDAC，G为OD的中点H为DD1的中点，HGOD1，GH平
21、面ACD1，OD1平面ACD1，GH平面ACD1【点评】本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题19设函数的最小正周期为，设向量，（1）求函数f（x）的递增区间；（2）求函数g（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若x0，2016，求满足的实数x的个数【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的图象【专题】数形结合；转化思想；三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】（1）利用，可得再利用正弦函数的单调性即可得出（2）利用数量积运算性质、正弦函数的单调性最值即可得出（3）利用向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：（1），=2 ，令，解得，此即为f（x）的递增区间 （2）= ， （
22、3）若，则，g（x）=4sin2x=0，又x0，2016，即k0，4032，kZ，k的值有4033个，即x有4033个【点评】本题考查了数量积运算性质、正弦函数的单调性最值、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切（1）求椭圆C的方程；（2）求椭圆C与直线y=kx（k0）在第一象限的交点为A设，且，求k的值；若A与D关于x的轴对称，求AOD的面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）求得圆O的方程，运用直线和相切的条件：d=r，求
23、得b，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）设出A的坐标，代入椭圆方程，求得交点A的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值；由三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到所求最大值【解答】解：（1）由题设可知，圆O的方程为x2+y2=b2，因为直线l：xy+2=0与圆O相切，故有，所以 因为，所以有a2=3c2=3（a2b2），即a2=3所以椭圆C的方程为 （2）设点A（x0，y0）（x00，y00），则y0=kx0由解得，（k=0舍去） ，（当且仅当时取等号），SAOD的最大值为【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和直线与圆相切的条件：d
24、=r，同时考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，考查向量的数量积的坐标表示和基本不等式求最值的方法，属于中档题21设a，bR，函数f（x）=ax2+lnx+b的图象在点（1，f（1）处的切线方程为4x+4y+1=0（1）求函数f（x）的最大值；（2）证明：f（x）x32x2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】转化思想；分析法；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）求出导数，求出切线的斜率和切点，可得f（x）的解析式，求出单调区间、极值和最值；（2）设出h（x）=f（x）（x32x2），求出导数，求得单调区间，可得极大值，也为最大值，进而得到证明【解答】解：（1），由在点（1，f（1）处的切线方程为4x+4y+1=0，解得，令f（x）=0，得，令f（x）0，得，此时f（x）单调递增；令f（x）0，得，此时f（x）单调递减 （2）证明：设，令h（x）=0，得x=1，令h（x）0，得0x1，此时h（x）单调递增；令h（x）0，得x1，此时h（x）单调递减，h（x）0从而f（x）x32x2【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造法，求出最值，考查运算能力，属于中档题
