1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第四节 三角函数式的求值、化简与证明Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角和半角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出和差化积，积化和差公式，但不要求记忆)考试热点1.以三角恒等变换的考查为过程，以三角函数的图象和性质为目标的命题模式仍是高考的热点内容2以考查两角和与差的三角函数的公式及倍半角的公式为主，考查代数式的恒等变换能力以及合理推理能力等3多以选择题、填空题的形式为主，解答题时常
2、作为其中的一问出现，多属于中、低档题目.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1三角函数式的化简 三角函数式的化简是求值和证明的基础，高考中设计题目，常以两角和与差的三角函数，二倍角的三角函数的公式进行恒等变形，进而讨论三角函数的有关性质 在化简三角函数式时，要注意运用常值代换、切割化弦、降幂与升幂来解题其中：Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 常值代换就是将常数用某个三角函数式来代替，如前面所讲到“1”的代换，再如：求3tan151 3tan15时，可用 tan 60代替其中的“3”，即
3、原式 tan60tan151tan60tan15tan(6015)tan451.收缩就是利用公式 asinbcosa2b2sin()将两个三角函数式的和差收缩成一个三角函数式，在解题时不必死记公式，重要的是这种“收二为一”的思想Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 化简三角函数式的要求、方法及常用技巧：(1)要求：能求出值的应求出值；使三角函数种类尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数(2)方法：能直接应用公式时就用公式(包括正用、逆用、变形应用)；常用切割化弦，异名化同名，异角化同角Copyright 2004-2009 版权所有 盗版
4、必究 (3)常用技巧：注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质；注意利用角与角之间的隐含关系；注意利用“1”的恒等变形Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2.三角函数式的求值 有给角求值、给值求值、给值求角：(1)给角求值的关键是正确分析角之间关系，准确地选用公式，要注意产生特殊角，同时把非特殊角的三角函数值相约或相消，从而求出三角函数式的值；(2)给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值；Copyright 2004-20
5、09 版权所有 盗版必究 (3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值，其次判断该角对应函数的单调区间，最后求出角Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3.证明问题 它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明(1)无条件恒等式的证明证明时要认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一，对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)有附加条件的恒等式的证明证明的关键是恰当地利用附加条件，要认真分析条件式和结论式中三角函数之间的
6、联系，从分析过程中发现条件应怎样利用证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法消元法即用代入、加减、乘除、平方后相加减等手段消去某些量；基本量方法就是适当选择其中可以独立取值的量作为基本量，把其他的量都用基本量表示出来，从而将问题归结为研究这些量之间的关系Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案：ACopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案：ACopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3A、B、C为ABC的内角，且cosA，sinB，则sin(AB)的值为()Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：c
7、osA35.sinA45，4A2sinB 513，故 0B6，(当56 B 矛盾)cosB1213.sin(AB)sinAcosBcosAsinB45121335 5136365.故选 D.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5已知、均为锐角，cos，tan()，求cos的值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗
8、版必究 化简问题 分析(1)作合理的角的变换：103020，709020(2)利用两角和正切公式的变形：tantantan()(1tantan)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)原式2cos(3020)sin20sin70 3cos20sin20sin20sin70 3cos20sin70 3.(2)原式tan(6)(6)1tan(6)tan(6)3tan(6)tan(6)3.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 求值问题例 2(2009重庆高考)设ABC的三个内角为 A
9、，B，C，向量 m(3sinA，sinB)，n(cosB，3cosA)，若 mn1cos(AB)，则 C()A.6B.3C.23D.56 分析 根据数量积的运算得到关于角A，B的三角函数之间的关系，通过三角恒等变换转化到角C上去Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解 mn 3sinAcosB 3cosAsinB 3sin(AB)3sin(C)3sinC，又 cos(AB)cos(C)cosC，故 3sinC1cosC，即 3sinCcosC1，即 2sin(C6)1，即 sin(C6)12，由于6C676，故只有 C656，即 C23.答案 CCopyright 200
10、4-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 本题还可以结合同角三角函数关系求解.3sinCcosC1，即 cosC1 3sinC，两端平方，得 cos2C12 3sinC3sin2C，即 1sin2C12 3sinC3sin2C，由于 sinC0，解得 sinC 32，故 C3或23，由于解这个方程的过程中进行了平方，有可能扩大解的范围，要代入原方程检验，将 C3代入 3sinCcosC1，得 21，矛盾，故舍去，将 C23 代入得符合题意，故 C23.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 在直角坐标平面内，已知三点 A(3,0)、B(0,3)、C(cos，sin)，其中
11、 2，32.(1)若|AC|BC|，求角 的弧度数；(2)若AC BC 1，求2sin2sin21tan的值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：(1)因为AC(cos3，sin)，BC(cos，sin3)，所以由|AC|BC|，得(cos3)2sin2cos2(sin3)2，即 cossin.又 2，32，所以 54.(2)由AC BC 1，得 cos(cos3)sin(sin3)1，即 sincos23.两边平方，得 2sincos59，所以2sin2sin21tan2sin22sincos1sincos2sincos59.Copyright 2004-2009
12、版权所有 盗版必究 证明问题 例3 设、是锐角，且tantan3tan ，求证：、成等差数列 分析 欲证、成等差数列，需证即可，所以将利用倍角公式转化为 形式，从而与tan联立来证明Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解 tan12tantan21tan22tan21tan221tan22 1tan22tan2tan321tan32tan2tan2tan21tan2tan2tan2.02，02.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 条件等式的证明问题，要充分挖掘已知条件和待证结论间的关系，通过凑角、变函数名称、切割化弦、“1”的变换等手段
13、，寻找联系，逐步实施条件到结论的转化Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3sin22cos23cos22sin2，4sin22cos210cos22sin2，两边同除以 cos2cos22，得 2tan225tan2.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 三角函数的恒等变换与其他知识的交汇 例4 将形如的符号称为二阶行列式，现规定a11a22a12a21.(1)试计算二阶行列式；Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)若已知函数f()，求锐角的值Copyright
14、 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 本题属于信息迁移题，是当前高考命题的一个热点题型这类问题往往以高等数学中的有关概念为背景，给出一个定义，然后在此基础上提出新的问题要求考生加以解决解决这类问题的关键是弄清给出的定义，围绕这个定义进行转化，转化成熟悉的问题，利用已有的知识和方法进行求解Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (1)若a与b是两个共线向量，求x的值；(2)若f(x)ab，求函数f(x)的最小值及相应的x的值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)f(x)ab 2sinxcos2xsinx2cos2xsinx12sin2x
15、sinx2sinx 1sinx.因为 x(0，2，所以 sinx(0,1，于是 2sinx 1sinx22sinx 1sinx2 2(当且仅当2sinx 1sinx，即 sinx 22 时取等号)，故函数 f(x)的最小值等于 2 2，此时 x4.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1转化的思想是实施三角变换的主导思路，变换包括函数名称变换、角的变换、1的变换、幂的升降变换等等变换则必须熟悉公式、分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相关联系 2恒等变形前需分析已知式中角的差异，函数名称的差异，运算的差异，寻求联系，实现转化 3掌握基本技巧：切割化弦，异名化同名，异角化同角，尽量减少函数名称种数，化为同次幂，化为比例式、化为常数等，还应注意会拆角，拼角，实现已知角与未知角的转换Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4给角求值要注意诱导公式的应用及符号的确定；要注意角的象限和范围，要写出所有角而不要遗漏Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
