1、广东省深圳市高级中学2020届高三数学下学期5月适应性考试试题 文（含解析）一选择题1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由一元二次不等式的解法求出集合U,再根据集合的补集运算可得选项.【详解】，又，所以，故选：C.【点睛】本题考查集合的补集运算和一元二次不等式的解法，属于基础题.2. 设i为虚数单位，复数的实部为（ ）A. 5B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】由复数的运算和复数的概念可得选项.【详解】，实部为3，故选：D.【点睛】本题考查复数的概念和复数的运算，属于基础题.3. 某校举行“我和我的祖国”文艺汇演，需征集20名志愿者参与活动服务工
2、作，现决定采取分层抽样的方式从“摄影协会”“记者协会”“管理爱好者协会”中抽取，已知三个协会的人数比为，且每个人被抽取的概率为0.2，则该校“摄影协会”的人数为（ ）A. 10B. 20C. 50D. 100【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样方法可得选项.【详解】由题意知从“摄影协会”抽取的人数为，因为每个人被抽取的概率为0.2，故该校“摄影协会”的人数为.【点睛】本题考查分层抽样方法，关键在于所抽样的对象与相对应的比例，属于基础题.4. 向量在向量方向上的投影为（ ）A. 1B. tC. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量的投影公式即可求解.【详解】在方向上的投影为.故选:A【点睛
3、】本题主要考查平面向量的投影，属于基础题.5. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设三种方案第n天的回报分别为，则，为常数列；是首项为10，公差为10的等差数列；是首项为0.4，公比为2的等比数列.由数列的求和公式可得选项.【详解】设三种方案第n天的回报分别为，则，为常数列；是首项为10，公差为10的等差数列；是首项为0.4，公比为
4、2的等比数列.设投资10天三种投资方案的总收益为，则；，所以.故选：B.【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于根据生活中的数据，转化到数列中所需的基本量，公差，公比等，属于中档题.6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用“凑角”的思想，将所求的角用已知的角表示，结合诱导公式与二倍角公式即可求解.【详解】由题意得.故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式及给值求值问题，考查二倍角公式，属于基础题.7. 已知双曲线C：，过焦点且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意求
5、出A，B两点的纵坐标，根据求出的值，最后写出双曲线渐近线方程即可.【详解】由题意可知，根据双曲线的对称性不妨设焦点的坐标为，当时，有，解得：，因为，所以有，化简得，即，所以渐近线方程为：.故选：C【点睛】本题考查了双曲线的渐近线的求法，考查了数学运算能力，属于基础题.8. 已知()，函数为幂函数且过点，则函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用待定系数法求出函数的解析式，结合奇偶函数的定义即可判断函数，的奇偶性，进一步可判断出函数的奇偶性，结合当时，函数值的变化即可判断.【详解】因为函数为幂函数，所以设，则，所以函数.由已知()，故为奇函数，且函数为奇函数
6、，则函数为偶函数，排除B，D.又时，故选A.故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的性质辨析函数的图象，属于基础题.9. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的一个极大值点为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用二倍角公式及诱导公式化简为的形式，结合图象的平移即可得出函数的解析式，结合函数的极大值点即为最大值点即可求解.【详解】，故.令，得，取，可得为极大值点.故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换及三角函数的性质，考查诱导公式与二倍角公式，属于基础题.10. 已知某三棱锥的三视图如图所示(数据为各矩形的对角线长)，则该三棱锥的外接球的表面积
7、为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图判断出几何体的结构，通过补形的方法求得外接球的直径，进而求得外接球的表面积.【详解】由题意知，该三棱锥可视为的六个面对角线所构成，如下图所示几何体.设长方体长，宽，高为a，b，c，则有，所以，设三棱锥的外接球半径为，则，.故选：B【点睛】本小题主要考查由三视图还原原图，考查几何体外接球表面积的求法，属于中档题.11. 已知O为坐标原点，抛物线E：()焦点为F，过焦点F的直线交E于A，B两点，若的外接圆圆心为Q，Q到抛物线E的准线的距离为，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】分析:由已知条件推导出点Q
8、到抛物线C的准线的距离为，由此能求出.【详解】由题意知，抛物线E：()的焦点为，准线为，Q在线段的垂直平分线上，故Q的纵坐标为，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，抛物线的简单几何性质，属于容易题.12. 已知函数在R上的图象是连续不断的，其导函数为，且，若对于，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析不等式的特点，结合，构造函数，利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立，转化为在恒成立，再求出的最小值.【详解】根据題意，令，则，故函数在上单调递增，又，不等式恒成立，所以在恒成立.从而，即在恒成立.令，令，则，所以在单调
9、递增，在单调递减.所以，故,即的最小值为.故选：B【点睛】本题考查了构造函数，利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数求最值，还考查了学生分析能力，运算能力，属于中档题.二填空题13. 若x，y满足约束条件，则最小值为_.【答案】【解析】【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，向下平移直线，变小，由解得，即，所以在点处取最小值，最小值为.故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解14. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，则边b的最小值为_.【答案】
10、1【解析】【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求，然后结合余弦定理及基本不等式即可求解【详解】解：由已知结合正弦定理得，因为，所以，即，所以，因为，所以又，所以，当且仅当时取“ ”所以的最小值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题15. 已知某圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形，且，.则该圆锥的体积为_.【答案】【解析】【分析】设，由已知得，求得弧长，再求出圆锥底面圆的半径为r，高为h，可求得圆锥的体积.【详解】设，在中，因为，所以，弧长，设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则，所以，故.【点睛】本题考查由圆锥的展开图求圆锥的体积，关键在于求得圆锥的
11、底面半径和圆锥的高，属于基础题.16. 黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，则_.【答案】；【解析】【分析】设，计算得到答案.【详解】设，则.故答案为：.【点睛】本题考查了根据椭圆的离心率求斜率关系，意在考查学生的计算能力.三解答题17. 新冠疫情发生后，酒精使用量大增，某生产企业调整设备，全力生产与两种不同浓度的酒精，按照计划可知在一个月内，酒精日产量(单位：吨)与时间n(且)成等差数列，且，.又知酒精日产量所占比重与时间n成等比
12、数列，酒精日产量所占比重与时间n的关系如下表()：酒精日产量所占比重时间n123（1）求，的通项公式；（2）若，求前n天酒精的总生产量(单位：吨，且).【答案】（1），()；（2）吨(且).【解析】【分析】（1）由等差、等比数列的定义和通项公式可求得；（2）运用错位相减法可得答案.【详解】（1）由，得，所以，所以.因为，.所以().（2）由题意知，第n天酒精的生产量为，由得：，所以，综上，前n天酒精的总生产量吨(且).【点睛】本题考查等差数列，等比数列的实际应用，以及错位相减法求数列的和，属于中档题.18. 某市为广泛开展垃圾分类的宣传教育和倡导工作，使市民树立垃圾分类的环保意识，学会垃圾分类
13、的知识，特举办了“垃圾分类知识竞赛.据统计，在为期1个月的活动中，共有两万人次参与网络答题.市文明实践中心随机抽取100名参与该活动的市民，以他们单次答题得分作为样本进行分析，由此得到如图所示的频率分布直方图：（1）求图中a的值及参与该活动的市民单次挑战得分的平均成绩(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；（2）若垃圾分类答题挑战赛得分落在区间之外，则可获得一等奖奖励，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得，若某人的答题得分为96分，试判断此人是否获得一等奖；（3）为扩大本次“垃圾分类知识竞赛”活动影响力，市文明实践中心再次组织市民组队参场有奖知识竞赛，竞赛共分五轮进行，已知“光速队”
14、与“超能队”五轮的成绩如下表：成绩第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮“光速队”9398949590“超能队”9396979490分别求“光速队”与“超能队”五轮成绩的平均数和方差；以上述数据为依据，你认为光速队”与“超能队”的现场有奖知识竞赛成绩谁更稳定？【答案】（1），(分)；（2）此人获得一等奖；（3）“光速队”平均数为，方差，“超能队”平均数为，方差为；“超能队”的现场有奖知识竞赛成绩更稳定.【解析】【分析】（1）由各组的频率和为1求出a的值；平均成绩等于各组的中间值与其频率积的和；（2）将（1）求出的平均值和代入，从而可判断96是否在此区间；（3）由表中的数据直接求平均数和方差即可；比较两
15、个方差的大小，方差小的成绩更稳定.【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得；参与该活动的市民单次挑战得分的平均值的平均成绩为(分).（2）由（1）知，区间，而，故此人获得一等奖；（3）“光速队”五轮成绩的平均数为，方差为.“超能队”五轮成绩的平均数为，方差为.评价：从方差数据来看，“超能队”现场有奖知识竞赛成绩更稳定.【点睛】此题考查频率分布直方图，求平均数、方差，利用方差的大小进行判断稳定程度，属于基础题.19. 已知三棱锥，如图所示，平面，D为中点，且.（1）证明：；（2）若与平面所成的角的余弦值为，求三棱锥体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明，即可证明平面得
16、到（2）为与平面所成的角，设，则，通过求解三角形求出，求出，通过，求解即可【详解】解:（1）因为，D为中点，所以，又平面，平面，所以，因为，平面，平面，所以平面.又面，所以.（2）因为平面，所以为与平面所成的角.因为，故设，则，所以，.由（1）知，所以，所以.从而，.在中，所以.故为等腰直角三角形.，所以.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，等体积法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题20. 已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：函数在定义域上只有一个零点【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，令得或，再对分类讨论可
17、得；（2）由（1）函数的单调性结合零点存在性定理，分类讨论计算可得；【详解】解：（1），令得或，易知，当时，；当时，当时，故在单调递减；当时，令得或，令得，故，单调递减，在单调递增；当时，令得或，令得，故在，单调递减，在单调递增.综上，当时，在单调递减；当时，在，单调递减，在单调递增；当时，在，单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，当时，在单调递减；且，即，故函数在上只有一个零点.当时，在，单调递减，在单调递增；故的极小值为，因此在上无零点；的极大值为，又，故在上有一个零点，因此，函数在上只有一个零点.当时，在，单调递减，在单调递增.故的极小值为，又，故在上有一个零点，的极大值为，又，故在上
18、无零点，因此，函数在上只有一个零点.综上，函数在上只有一个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于中档题.21. 已知椭圆C：()的左右焦点分别为，点满足：，且.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线l与C交于，不同的两点，且，问在x轴上是否存在定点N，使得直线，与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形.若存在，求定点N的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，定点为：.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，结合代入法、三角形的面积公式进行求解即可；（2）设出直线l的方程与椭圆方程联立，根据等腰三角形的性质，结合一元二次
19、方程根与系数关系、根的判别式、斜率公式进行求解即可.【详解】（1）因为，所以点P在椭圆C上，将代入，得，设椭圆C焦距为，则，所以，从而，由解得，所以椭圆C的方程为；（2）显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，联立消去y整理得.由，得，则，假设存在点，因为直线，与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形，所以.设，则，即，所以，化简得：，解得.故在x轴上存在定点，使得直线，与y轴围成的三角形始终在底边为y轴上的等腰三角形.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，考查了椭圆中存在性问题的探究，考查了数学运算能力.22. 以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴非
20、负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，(为参数).（1）求曲线的直角坐标方程及的普通方程；（2）已知点PQ为曲线与曲线的交点，W为参数方程(为参数)曲线上一点，求点W到直线的距离d的最大值.【答案】（1）：，：；（2）.【解析】【分析】（1）由，则，利用极坐标公式，转化为的直角坐标方程，曲线消参得到的普通方程；（2）由（1）联立与方程，求出交点，再求出直线的方程，设，将点W到直线的距离用表示出来，再由辅助角公式化简求出最大值.【详解】（1）曲线：，所以；所以.曲线：(为参数)，则，所以.综上，曲线的直角坐标方程为，的普通方程为.（2
21、）解则，解得，又因为，所以直线的方程为，设，所以(，).即点W到直线的距离d的最大值为.【点睛】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程转化为普通方程，还考查了用参数方程将距离问题转化为求三角函数的最值问题，属于中档题.23. 已知函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，若恒成立，求实数a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时，利用零点分段法去绝对值，由此求得不等式的解集.（2）将表示为分段函数的形式，构造函数，结合二次函数的最值以及恒成立列不等式组，解不等式组求得的值.【详解】（1）当时，.当时，解得.当时，解得.当时，解得.所以不等式的解集为.（2）因为，所以设整理得若恒成立，则恒成立，即，从而解得.【点睛】本小题主要考查含有绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题.
