1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列函数与函数y=x相同的是()A.y=x2B.y=3t3C.y=x2D.y=x2x解析y=3t3=t,tR.答案B2.函数f(x)=x|x|的图像是()解析由于f(x)=x|x|=1,x0,-1,x1,则f(f(2)的值为()A.-1B.-3C.0D.-8解析f(2)=22-2-3=-1,f(f(2)=f(-1)=1-(-1)2=0.答案C4.已知二次函数f(x)=m2x2+2mx-3,则下列结论正确的是()A.函数f(x)有最大值-4B.函数f(x)有最小值-4C.函数f(x)有最大值-3D
2、.函数f(x)有最小值-3解析由题知,m20,所以f(x)的图像开口向上,函数有最小值f(x)min=4m2(-3)-4m24m2=-4,故选B.答案B5.若函数f(x)(xR)是奇函数,则()A.函数f(x2)是奇函数B.函数f(x)2是奇函数C.函数f(x)x2是奇函数D.函数f(x)+x2是奇函数解析f(-x)2)=f(x2),则函数f(x2)是偶函数,故A错误;f(-x)2=-f(x)2,则函数f(x)2是偶函数,故B错误;函数f(-x)(-x)2=-f(x)x2,则函数f(x)x2是奇函数,故C正确;f(-x)+(-x)2=-f(x)+x2,则函数f(x)+x2不是奇函数,故D错误.
3、故选C.答案C6.已知偶函数f(x)在区间0,+)内单调递增,则满足f(2x-1)f13的x的取值范围是()A.13,23B.13,23C.12,23D.12,23解析函数f(x)是偶函数,f(2x-1)f13等价于f(|2x-1|)f13.又f(x)在区间0,+)内单调递增,|2x-1|13,解得13x23.答案A7.函数f(x)=cx2x+3x-32满足f(f(x)=x,则常数c等于()A.3B.-3C.3或-3D.5或-3解析f(f(x)=ccx2x+32cx2x+3+3=c2x2cx+6x+9=x,即x(2c+6)x+9-c2=0,所以2c+6=0,9-c2=0,解得c=-3.故选B.
4、答案B8.若函数y=f(x)为偶函数,且在(0,+)内是减函数,又f(3)=0,则f(x)+f(-x)2x0的解集为()A.(-3,3)B.(-,-3)(3,+)C.(-,-3)(0,3)D.(-3,0)(3,+)解析f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),f(x)+f(-x)2x=2f(x)2x=f(x)x0,即f(x)0或f(x)0,x0.f(x)为偶函数且在(0,+)内为减函数,f(x)在(-,0)内是增函数.由f(3)=0知f(-3)=0,f(x)0可化为f(x)0,x3;f(x)0,xf(-3),x0,-3x0.综上,f(x)+f(-x)2x0的解集为(-3,0)(3,+).答案D二
5、、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)9.(2019临高中学高一期中)已知f(x)=x+2(x-1),x2(-1x2),2x(x2),若f(x)=1,则x的值是()A.-1B.12C.-3D.1解析根据题意,f(x)=x+2(x-1),x2(-1x2),2x(x2),若f(x)=1,分3种情况讨论:当x-1时,f(x)=x+2=1,解可得x=-1;当-1x2时,f(x)=x2=1,解可得x=1,又由-1x0),则()A.f(-3)f(3)B.f(-2)f(3)解析f(x)=ax2-2ax-3(a0)对称轴为x=1,且在1,+)是增函数,f(-3)=f(5)f(3),选项A正确;f(
6、-2)=f(4)f(3),选项B错误;f(4)=f(-2),选项C正确;f(4)f(3),选项D正确.故选ACD.答案ACD11.(2019辽宁高一期中)若函数f(x)=-x2+2a,x-1,ax+4,x-1在R上是单调函数,则a的取值可能是()A.0B.1C.32D.3解析当x-1时,f(x)=-x2+2a为增函数,所以当x-1时,f(x)=ax+4也为增函数,所以a0,-1+2a-a+4,解得0a53.故选BC.答案BC12.(2020山东高一期末)已知函数f(x)=|x+1|-1,x0,f(x-2),x0.则以下结论正确的是()A.f(2 020)=0B.方程f(x)=14x-1有三个实
7、根C.当x4,6)时,f(x)=|x-5|-1D.若函数y=f(x)-t在(-,6)上有8个零点xi(i=1,2,3,8),则i=18xif(xi)的取值范围为(-16,0)解析对A,f(2020)=f(2018)=f(0)=f(-2)=|-2+1|-1=0.故A正确.对B,画出f(x)=|x+1|-1,x0,f(x-2),x0的图像,如图所示.故f(x)=14x-1有四个根.故B错误.对C,当x4,6)时,f(x)=f(x-2)=f(x-4)=f(x-6)=|x-6+1|-1=|x-5|-1.故C正确.对D,画出图像,y=f(x)-t有8个零点,即y=f(x)与y=t有8个交点.此时i=18
8、xif(xi)=ti=18xi=t(-1)2+12+32+52=16t.又t(-1,0),故16t(-16,0).即i=18xif(xi)的取值范围为(-16,0).故D正确.故选ACD.答案ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x2+ax,且f(2)=12,则a=.解析函数f(x)为奇函数,且f(2)=12,f(-2)=-f(2)=-12.又由当x0时,f(x)=x2+ax,则f(-2)=4-2a=-12,解得a=8.答案814.(2019江苏)函数y=7+6x-x2的定义域是.解析要使式子有意义,则7+6x-x20,解得-1
9、x7.答案-1,715.对任意两个实数x1,x2,定义maxx1,x2=x1,x1x2,x2,x1x2,若f(x)=x2-2,g(x)=-x,则maxf(x),g(x)的最小值为.解析f(x)-g(x)=x2-2-(-x)=x2+x-2,当x2-2-(-x)=x2+x-20时,x1或x-2,此时,f(x)g(x),当-2x1时,x2+x-20,即f(x)g(x),所以maxf(x),g(x)=-x,-2x1,x2-2,x1或x-2,可结合分段函数的图像得最小值为f(1)=-1.答案-116.(2019北京,理14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依
10、次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.解析(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,y0时,f(x)=x2-2x+1,求f(x)在xR上的表达式.解因为f(x)是定义域在R上的奇函数,所以f(0)=0,
11、当x0,由已知得,f(-x)=(-x)2-2(-x)+1=x2+2x+1=-f(x),所以f(x)=-x2-2x-1,所以f(x)=x2-2x+1,x0,0,x=0,-x2-2x-1,x0.18.(12分)(2020四川泸县五中高一月考)已知函数f(x)=2x-1x+1,x3,5.(1)判断f(x)在区间3,5上的单调性并证明;(2)求f(x)的最大值和最小值.解(1)函数f(x)在3,5上为增函数,证明如下:设x1,x2是3,5上的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1-1x1+1-2x2-1x2+1=3(x1-x2)(x1+1)(x2+1).3x1x25,x1-x20,
12、x2+10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.解(1)f(1)=m+1n+12=2,f(2)=2m+12n+12=114,m=1,n=2.(2)f(x)单调递增,证明如下,设1x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+12x1+12-x2+12x2+12=(x1-x2)1-12x1x2=(x1-x2)2x1x2-12x1x2.1x1x2,x1-x21,2x1x21,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)x2-2x+4,x2+2x-30,x1.20.(12分)某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出;当每辆车的月租
13、金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?解(1)当每辆车的月租金定为3600元时,未租出的车辆数为3600-300050=12,所以这时租出了88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益为f(x)=100-x-300050(x-150)-x-30005050,整理,得f(x)=-x250+162x-21000=-150(x-4050)2+307050.所以当x=4050时,
14、f(x)最大,最大值为f(4050)=307050元,即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307050元.21.(12分)已知f(x)对任意的实数m,n都有:f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x0时,有f(x)1.(1)求f(0);(2)求证:f(x)在R上为增函数;(3)若f(1)=2,且关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x2)3对任意的x1,+)恒成立,求实数a的取值范围.(1)解令m=n=0,则f(0)=2f(0)-1,f(0)=1.(2)证明任取x1,x2R且x10,f(x2-x1)1.f(m+n)=f(m)+f(n)-1,f(x2)=f(
15、x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)-11+f(x1)-1=f(x1),f(x2)f(x1),f(x)在R上为增函数.(3)解f(ax-2)+f(x-x2)3,即f(ax-2)+f(x-x2)-12,f(ax-2+x-x2)2.f(1)=2,f(ax-2+x-x2)f(1).又f(x)在R上为增函数,ax-2+x-x20对任意的x1,+)恒成立.令g(x)=x2-(a+1)x+3,当a+121时,g(1)0,得a1时,0,即(a+1)2-340,-23-1a23-1,1a23-1.综上,实数a的取值范围为(-,23-1).22.(12分)(2020广东金山高一检测)已知二次函数f(
16、x)对xR都有f(x+1)-f(x)=2x+2成立,且f(1)=3.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f(x)-(1+2m)x+1(mR)在x-2,3上的最小值.解(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,a0,则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+2ax+a+bx+b+c,f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x+2,即2a=2,a+b=2,解得a=b=1,即f(x)=x2+x+c,又f(1)=2+c=3,得c=1,所以f(x)=x2+x+1.(2)g(x)=x2-2mx+2=(x-m)2+2-m2,对称轴x=m,开口向上.分三种情况:当m3时,函数y=g(x)在区间-2,3内单调递减,g(x)min=g(3)=11-6m.综上,g(x)min=6+4m,m3.
