1、第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.3函数的奇偶性课后篇巩固提升基础达标练1.下列图像表示的函数具有奇偶性的是()答案B2.(多选题)下列函数既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+1B.y=xC.y=1xD.y=x|x|解析选项A为一次函数,不是奇函数,是增函数;选项B是奇函数,是增函数;选项C是反比例函数,为奇函数,不是增函数;选项D,去绝对值号,变为分段函数,符合题意.答案BD3.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为()A.4B.0C.2mD.-m+4解析由已知,得f(x)+f(-x)=4,故f(-5)+f(5)=4.答案A4.设偶
2、函数f(x)满足f(x)=2x-4(x0),则不等式f(x-2)0的解集为()A.x|x4B.x|x4C.x|x6D.x|x2解析当x0时,令f(x)=2x-40,所以x2.又因为函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)0的解集为x|x2.将函数y=f(x)的图像向右平移2个单位长度即得函数y=f(x-2)的图像,故f(x-2)0的解集为x|x4.答案B5.(多选题)(2020辽宁高一检测)已知函数f(x-2)是定义在R上的偶函数,且对任意的x1,x20,+)(x1x2),总有f(x1-2)-f(x2-2)x1-x20,则下列结论正确的是()A.f(-6)f(0)B.f(0)f(-3)C.f(0
3、)f(-6)D.f(-3)0,不妨设0x10,所以f(x1-2)-f(x2-2)0,f(x1-2)f(x2-2),所以f(x-2)在0,+)上是增函数,所以f(x)在-2,+)上是增函数.因为f(x-2)是偶函数,所以f(x-2)的图像关于y轴对称,故f(x)的图像关于直线x=-2对称,所以f(-6)=f(2),f(-3)=f(-1),则f(-3)f(0)0,0,x=0,x2+mx,x0是奇函数,则m=.解析当x0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)=-x2-2x.f(x)=x2+2x=x2+mx,即m=2.答案29.已知函数f(x)=
4、(x+a)(x+b)(a,bR)为R上的偶函数.(1)求a,b的关系式;(2)求关于x的方程f(x)=0的解集.解(1)f(x)=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab是偶函数,f(-x)=f(x)对于xR恒成立,(-x)2-(a+b)x+ab=x2+(a+b)x+ab,即2(a+b)x=0对于xR恒成立,a+b=0,即b=-a.(2)由(1)可知,f(x)=x2-a2.当a=0时,f(x)=x2=0,解得x=0;当a0时,f(x)=x2-a2=0,解得x=a.综上所述,当a=0时,方程f(x)=0的解集为0;当a0时,方程f(x)=0的解集为-a,a.10.(2020江苏高一月考)已
5、知定义在-3,3上的函数y=f(x)是增函数.(1)若f(m+1)f(2m-1),求m的取值范围;(2)若函数f(x)是奇函数,且f(2)=1,解不等式f(x+1)+10.解(1)由题意可得,-3m+13,-32m-13,m+12m-1,解得-1m0,f(x+1)-1,f(x+1)f(-2),x+1-2-3x+13,-3x2.不等式的解集为x|-30,则有f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)解析由y=2x2+x+1=2x+142+78在-14,+上单调递增可知,函数y=2x2+x+1在(0,+)上是增函数,故A正确;y=1x+1在(-,-1),(-1,+)上均是减函数,但在(-,-1)(-
6、1,+)上不是减函数,如-20,但1-2+10得a-b,又f(x)在R上递增,所以f(a)f(-b),同理,f(b)f(-a),所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),故D正确.答案AD4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)f(a),则实数a的取值范围是()A.(-,-1)(2,+)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+)解析因为f(x)是奇函数,所以当xf(a),得2-a2a,即-2a0时,f(x)=x3+x+1,则f(x)的解析式为.解析设x0,所以f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1.因为f(x)是奇
7、函数,所以f(-x)=-f(x).所以-x3-x+1=-f(x),即f(x)=x3+x-1.所以x0),0(x=0),x3+x-1(x0),0(x=0),x3+x-1(x0)6.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x(x0);(2)f(x)=(x+5)2-4,x(-6,-1,(x-5)2-4,x1,6).解(1)当x0,则有f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);当x0时,-x0,则有f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x).综上所述,因为对任意不为0的x,都有f(-x)=-f(x)成立,所以f(x)为奇函数.(2)f(x)的定义域为(-6,
8、-11,6),关于原点对称.当x(-6,-1时,-x1,6),f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x);当x1,6)时,-x(-6,-1,f(-x)=(-x+5)2-4=(x-5)2-4=f(x).综上可知,对于任意x(-6,-11,6),都有f(-x)=f(x),所以f(x)=(x+5)2-4,x(-6,-1,(x-5)2-4,x1,6)是偶函数.7.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x,yR,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)0,f2=0.(1)求f(0),f()的值;(2)求证:y=f(x)是偶函数.(1)解对任意x,yR,f(x+y)+f(
9、x-y)=2f(x)f(y),令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)f(0).又f(0)0,f(0)=1.令x=y=2,则有f()+f(0)=2f2f2,f2=0,f()+f(0)=0.f()=-1.(2)证明令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),f(-y)=f(y).y=f(x)是偶函数.素养培优练函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)内的奇函数,且f12=25.(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)内是增函数;(3)解不等式:f(t-1)+f(t)0.(1)解依题意,得f(0)=0,f12=25,即b1+02=0,a2+b1+14=25,解得a=1,b=0.f(x)=x1+x2.(2)证明设x1,x2是(-1,1)内的任意两个不相等的实数,且-1x1x20,y=f(x2)-f(x1)=x21+x22-x11+x12=(x2-x1)(1-x1x2)(1+x12)(1+x22).-1x1x20,1+x120,1+x220,且-1x1x20.y0.f(x)在(-1,1)内是增函数.(3)解由f(t-1)+f(t)0,且f(x)为奇函数,得f(t-1)-f(t)=f(-t).又f(x)在(-1,1)内是增函数,-1t-11,-1t1,t-1-t,解得0t12.
