1、北京师大附中20182019学年上学期高中二年级期中考试数学试卷一、选择题，本大题共10小题，共40分，从列出的四个选项中，选出符合要求的一项。1.在数列中，且，则等于A. 8 B. 6 C. 9 D. 7【答案】D【解析】【分析】根据递推关系得出数列为等差数列，且求得公差，由此计算得的值.【详解】由于，故数列是首项为，公差为的等差数列，故，故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列的识别，考查等差数列项的计算，属于基础题.2.在三棱锥中，D为BC的中点，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量加法和减法的运算，将转化到三个方向上，由此求得正确选项.【详解】依题意得，故选A.【
2、点睛】本小题主要考查向量加法和减法的运算，属于基础题，要注意的是向量减法，箭头是指向被减数.3.在等比数列中，且，则这个数列的公比为A. 3 B. C. 9 D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列项与项的关系，化简已知条件，解方程求得数列的公比.【详解】由于数列为等比数列，故，解得.故选B.【点睛】本小题主要考查等比数列的通项公式，考查方程的思想，属于基础题.4.在正方体中，向量和的夹角是A. B. 60 C. 45 D. 135【答案】B【解析】【分析】将两个向量平移到一起，然后解三角形求得两个向量的夹角.【详解】画出图像如下图所示，连接，根据正方体的性质可知，故是题目所求两个向量的夹
3、角.由于是等边三角形，故.【点睛】本小题主要考查空间两个向量的夹角，考查空间异面直线所成的角，主要的解法是利用平行，作出它们所成的角，解三角形求得这角的大小.5.某种农产品前n年的总产量与n之间的关系满足：，若前m年的年平均产量最小，则m值为A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【答案】C【解析】【分析】通过计算，其中使得结果最大的即为所求.【详解】依题意，故当时，取得最小值.故选C.【点睛】本小题主要考查数列的实际应用.由于题目是选择题，故可将选项代入验算，得出正确选项，属于基础题.6.若数列是公比为q的递增等比数列，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意构造特殊的数列
4、，然后对选项的正误逐一进行判断，由此得出正确选项.【详解】依题意，不妨设，数列是递增的等比数列，由此判断C,D选项错误.设，数列是递增的等比数列，由此判断A选项不正确.故正确的选项为B.所以本题选B.【点睛】本小题主要考查等比数列的单调性.由于题目是选择题，故可采用特殊值和排除法来得出选项，属于基础题.7.在棱长为1的正四面体ABCD中，E, F分别是 BC, AD的中点，则（ ）A. 0 B. C. D. 【答案】D【解析】 =.故答案为：D。8.已知平面ABC，点O是空间任意一点，点M满足条件，则A. 直线AM与平面ABC平行B. 直线AM是平面ABC的斜线C. 直线AM是平面ABC的垂线
5、D. 直线AM在平面ABC内【答案】D【解析】【分析】根据向量减法的运算，将化简后，可得其空间位置.【详解】依题意，故直线在平面内.故意选D.【点睛】本小题主要考查向量的减法运算，将题目所求直线对应的向量利用减法运算化简后可得出结果，属于基础题.9.已知两个不共线的向量，与平面共面，向量v是直线l的一个方向向量，则“存在两个实数x,y，使”是“l/”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先根据向量基底的概念证明必要性，然后举出反例说明“不充分”，由此得出正确选项.【详解】当时，由于时不共线的向量，故可用作为基底表示出来，
6、所以“必要性”成立.当时，直线可能在平面内，故“充分性”不成立.所以是必要不充分条件，所以选B.【点睛】本小题主要考查向量基底的概念，考查直线和平面平行的知识，考查充要条件的判断，属于基础题.10.如图，棱长为2的正方体中，M是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于CM，则的面积的最小值为A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用求得点坐标间的相互关系，写出三角形面积的表达式，利用二次函数的对称轴，求得面积的最小值.【详解】以分别为轴建立空间直角坐标系，依题意有，由于，故，解得.根据正方体的性质可知，故三角形为直角三角形，而，故，三角形的面积为，当时，
7、面积取得最小值为，故选A.【点睛】本小题主要考查空间两条直线相互垂直的坐标表示，考查三角形面积的最小值的求法，还考查了划归与转化的数学思想.属于中档题.空间两条直线相互垂直，那么两条直线的方向向量的数量积为零.对于两个参数求最值，可利用方程将其中一个参数转化为另一个参数，再结合函数最值相应的求法来求最值.二、填空题，本大题共6小题，共30分。11.与共线且满足的向量b=_。【答案】【解析】【分析】首先利用共线设出的坐标，再利用数量积为的条件求出向量.【详解】依题意设，所以，解得.故.【点睛】本小题主要考查空间两个向量共线的表示，考查空间向量数量积的计算，属于基础题.12.已知数列满足：，则数列
8、的前2n项和_。【答案】【解析】【分析】根据题目将数列前项的和分成奇数项和偶数项的和，分别用等比数列和等差数列的前项和公式求和，然后相加可求得的值.【详解】根据题意可知，数列的奇数项是首项为，公比为的等比数列；数列的偶数项是首项为，公差为的等差数列.故 .【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的识别，考查等差数列、等比数列的前项和公式，考查分组求和法.如果一个数列满足，那么这个数列是等差数列，如果一个非零数列满足，则数列为等比数列.如果一个数列的项分成两类，那么可以考虑分组求和法求得前项和.13.如图，在正四面体VABC中，直线VA与BC所成角的大小为_；二面角VBCA的余弦值为_。【答案】
9、 (1). (2). 【解析】【分析】设的中点为，连接，利用线面垂直的判定定理，证得平面，由此求得所成的角，同时根据平面可知是二面角的平面角，用余弦定理求得其余弦值.【详解】设的中点为，连接，根据正四面体的性质可知，故平面，所以，即两条异面直线所成的角为.同时，由于平面,，故是二面角的平面角，设正四面体的边长为，则，由余弦定理的.【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线所成的角，考查线面垂直的证明，考查二面角的平面角的余弦值的几何求法.要求两条异面直线所成的角，一种方法是将两条异面直线平移到一起，另一种方法就是通过线面垂直，证得两条一面直线是垂直的，也就是异面直线所成的角为.14.设数列满足“，
10、”，则的通项公式可以为_。【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根据题目所给数列的单调性，结合先减后增函数，写出数列的一个通项公式.【详解】依题意可知，数列前两项是递减的，从第二项起，后面的项是递增的，故可以考虑，符合题意.也可以是.【点睛】本小题主要考查数列的单调性，属于基础题.数列前两项递减，后面的项递增，故在第二项取得最小值，根据这个特征易得结论，属于基础题.15.已知等比数列的前n项和为，则常数C=_【答案】【解析】【分析】根据等比数列前项和公式，进行对比，可求得的值.【详解】由于等比数列前项和公式为，即的系数和常数项互为相反数.而题目中，故，解得.【点睛】本小题主要考查等比数列前项和
11、公式的函数特点，通过比较系数列方程，解方程可求得常数的值.对于等比数列前项和公式，可以通过转化化简为，可观察到的系数和常数项互为相反数.等差数列前项和公式，与二次函数也有点类似.16.有一条珍珠项链，上面共有33颗珍珠，最下面中央的那颗珍珠最大，也最有价值，由这颗珍珠往右，越往上的珍珠越小，且价值依次递减100元；同样的，由这颗珍珠往左，越往上方的珍珠也越小，且价值依次递减150元，假设整条珍珠项链的总价值是65000元，则最大的那颗珍珠的价值是_元。【答案】【解析】【分析】根据题意可知项链左侧和右侧是公差不同的等差数列，根据等差数列前项和公式，列方程，可求得最大的那颗珍珠的价值.【详解】设最
12、大珍珠的价值为，依题意，项链左边是首项为，公差为，一共有项的等差数列；项链右边是首项为，公差为，一共有项的等差数列，故全部珍珠的价值为，解得.【点睛】本小题主要考查等差数列在实际生活中的应用，考查等差数列的识别，考查等差数列前项和公式以及分组求和法.已知数列的首项和公差，可根据等差数列前项和公式求得数列的前项和，如果所要求和的数列明显分成两组，可考虑用分组求和法求得它的前项和.属于基础题.三、解答题：共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17.已知空间中三点A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4），设，（I）若，且，求向量c；（II）已知向量与互相垂直，求k
13、的值；（III）求的面积。【答案】（I）或；（II）；（III）【解析】【分析】（I）利用设出的坐标，利用列方程，解方程求得的坐标.（II）利用两个向量垂直，则它们的数量积为零，列方程，解方程可求得的值.（III）利用两点间的距离公式计算的长度，利用余弦定理求得某一个角的余弦值，然后求得其正弦值，再由三角形的面积公式求得三角形的面积.【详解】（I），由于，故可设，故，解得，故为或.（II），由于与垂直，则.（III）依题意，故由余弦定理得，所以.故三角形面积为.【点睛】本小题主要考查空间两个向量平行的坐标表示，考查空间向量模的运算，考查空间两个向量垂直的坐标表示，以及考查空间三角形面积的求法.
14、已知空间中三个点的坐标，要求这个这三个点围成三角形的面积，可利用两点间的距离公式求得三条边的长，利用余弦定理求得某一个角的余弦值，然后求得其正弦值，再由三角形的面积公式求得三角形的面积.18.如图，在直三棱柱中，点D是的中点。（I）求证平面；（II）求二面角的余弦值。【答案】（I）详见解析 （II）【解析】【分析】以分别为轴建立空间直角坐标系.（I）利用直线的方向向量和平面的内的两条相交直线垂直，证得平面.（II）利用平面和平面的法向量计算二面角的余弦值.【详解】以分别为轴建立空间直角坐标系.故，,.（I）由于，所以，因为，故平面.（II）由（I）知是平面的法向量.设，由于，故是平面的法向量.
15、设是二面角的平面角，由图可知为锐角，故.【点睛】本小题主要考查利用空间向量法证明线面垂直，考查利用空间向量的方法求二面角的余弦值，属于中档题.要证明直线和平面垂直，除了利用几何法来证明外，还可以用向量法来证明，即证明直线对应的方向向量，和平面内两条相交直线的方向向量的数量积为零，即可证得直线和平面垂直.19.已知公差不为零的等差数列中，且，成等比数列。 （I）求数列的通项公式；（II）设数列满足：，求的前n项之和；（III）设数列满足：，为的前n项和，求证：。【答案】（I）；（II）；（III）详见解析.【解析】【分析】（I）根据等比中项的性质列方程，转化为的形式，解方程求得的值，进而求得通项
16、公式.（II）利用错位相减求和法求得数列的前项和.（III）利用裂项求和法求得的值，由此证得.【详解】（）由于，成等比数列，所以，故，由于，解得，所以.（II）由（I）得，故，两式相减得 ，即.（III）由（I）得，故 .【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列基本量的计算以及等差数列通项公式的求解，考查错位相减求和法，考查裂项相消求和法.如果一个数列是由等差数列乘以等比数列所构成，那么可以利用错位相减法求得前项和.如果一个数列的分母是由两个公差相同的等差数列相乘所得，可以考虑用裂项求和法求和.20.如图，在三棱锥中，底面ABC，H为PC的中点，M为AH的中点，PA=AC=2，BC=
17、1 （I）求证：；（II）求PM与平面AHB所成的角的正弦值；（III）设点N在线段PB上，且，MN/平面ABC，试写出实数的值（不必证明）。【答案】（I）详见解析；（II）；（III）【解析】【分析】以分别为轴建立空间直角坐标系.（I）通过计算证得两条直线垂直.（II）通过直线的方向向量和平面的法向量，计算线面角的正弦值.（III）利用中位线，过作一平面平行与平面，且与相交于.根据比例求得的值.【详解】以分别为轴建立空间直角坐标系.故,，,，.（I）由于，故.（II）由于，故是平面的法向量，设直线和平面所成的角为，则.（III）设是的中点，连接，过作交于，连接.由于是中点,故，所以平面平面，
18、故平面.由于,故.【点睛】本小题主要考查利用空间向量法证明线线垂直，考查利用空间向量的方法求线面角的正弦值，属于中档题.要证明直线和直线垂直，除了利用几何法来证明外，还可以用向量法来证明，即证明两条直线对应的方向向量的数量积为零，即可证得直线和直线垂直.21.应届毕业生小李收到了两家公司的录用通知，录用的岗位相同，两家公司均提供税后年薪，且要求签约10年，A公司第一年的年薪为10万元，以后每年上涨20%；B公司第一年的年薪为20万元，以后每年上涨5%。 （I）如果只考虑收入水平，不考虑其他因素，你建议小李选择哪家公司？说明理由。（II）十年内A公司提供的该岗位年薪能否超过B公司，若能，请指出从
19、第几年开始，若不能，说明理由。（参考数据：），【答案】（I）A公司；（II）第7年.【解析】【分析】（I）根据增长率，建议选择A公司.（II）求得两个公司年薪的表达式，比较年薪的大小关系，由此得出结论.【详解】（I）由于A公司年薪增长快，越到后面工资越高，故建议选择A公司.（II）设A公司年薪为，B公司年薪为，令，两边取以为底的对数并化简得，故当时，A公司提供的该岗位年薪能否超过B公司.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的应用，考查数列比较大小的方法，考查数列在实际生活的案例.22.如果数列满足“对任意正整数i，j，都存在正整数k，使得”则称数列具有“性质P”，已知数列是无穷项的等差数列，
20、公差为d（I）试写出一个具有“性质P”的等差数列；（II）若，公差d=3，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由。（III）若数列具有“性质P”，求证：且【答案】（I）；（II）不具有，理由见解析；（III）详见解析.【解析】【分析】（I）具有“性质P”的数列中的任何两项的乘积，还是这个数列的项，故考虑奇数乘以奇数，结果还是奇数，得到满足题意的数列.（II）根据首项和公差得到数列的通项公式，通过计算符合的值不存在，判断出数列不具有“性质P”（III）将和分成、，三类，判断出这三类不具有“性质P”，故具有“性质P”.【详解】（I）（II）若，公差d=3，则数列不具有性质P理由如下：由题知，对于和，假设存在正整数k，使得，则有，解得，矛盾！所以对任意的，（III）若数列具有“性质P”，则假设，则对任意的，设，则，矛盾！假设，则存在正整数t，使得设， L，t+1则，但数列中仅有t项小于等于0，矛盾！假设，则存在正整数t，使得设，则，但数列中仅有t项大于等于0，矛盾！综上， 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查用举反例的方法证明命题.属于中档题.
