1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)1.直线x-3y-1=0的倾斜角的大小为()A.30B.60C.120D.150解析直线x-3y-1=0的斜率为k=33,故tan=33.0180,=30.答案A2.圆x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为()A.x+3y-2=0B.x+3y-4=0C.x-3y+4=0D.x-3y+2=0解析点P(1,3)在圆x2+y2-4x=0上,点P为切点.从而圆心与点P的连线应与切线垂直.又圆心为(2,0),设切线斜率为k,0-32-1k=-1,解得k=33.切线方程为x-3y+2=0.答案D3.已知A、
2、B为圆x2+(y-1)2=4上关于点P(1,2)对称的两点,则直线AB的方程为()A.x+y-3=0B.x-y+3=0C.x+3y-7=0D.3x-y-1=0解析记圆心为C(0,1),由题意CPAB,kCP=2-11-0=1,kAB=-1,又直线AB过点P(1,2),直线AB的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0,故选A.答案A4.当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,m的值为()A.2B.0C.-1D.1解析直线mx-y+1-2m=0过定点Q(2,1),所以点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时PQ垂直于直线mx-y+1-2m=0,即m2-13-2
3、=-1,所以m=-1,故选C.答案C5.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是()A.62-2B.8C.46D.10解析易知点A关于x轴对称点A(-1,-1),A与圆心(5,7)的距离为(5+1)2+(7+1)2=10.故所求最短路程为10-2=8.答案B6.方程(x2+y2-4)x+y+1=0的曲线形状是()解析由(x2+y2-4)x+y+1=0可得x2+y2-4=0,x+y+10或x+y+1=0,它表示直线x+y+1=0和圆x2+y2=4在直线x+y+1=0右上方的部分.答案C7.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2
4、=4相交于M,N两点,若|MN|23,则k的取值范围是()A.-34,0B.-,-340,+)C.-33,33D.-23,0解析圆心的坐标为(3,2),且圆与x轴相切.当|MN|=23时,弦心距最大,由点到直线的距离公式得|3k-2+3|1+k21,解得k-34,0.答案A8.过点(2,0)引直线l与曲线y=1-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于()A.33B.-33C.33D.-3解析曲线y=1-x2的图象如图所示:若直线l与曲线相交于A,B两点,则直线l的斜率k4,故直线上不存在点到M距离等于4,不是“切割型直线”;B.因为d=24,故直线上不存
5、在点到M距离等于4,不是“切割型直线”.答案BC10.已知ab0,点M(a,b)为圆x2+y2=r2内一点,直线m是以点M为中点的弦所在直线,直线l的方程为ax+by=r2,则下列结论正确的是()A.mlB.lmC.l与圆相交D.l与圆相离解析因为KMO=ba,直线m的方程为y-b=-ab(x-a),即ax+by-a2-b2=0,M在圆内,a2+b2r,l与圆相离.答案AD11.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是()A.3B.1C.2D.-2解析圆C的方程可化为(x-2)2+y2
6、=4,过P所作的圆的两条切线相互垂直,所以点P、圆心C以及两切点构成正方形,所以PC=22.P在直线y=k(x+1)上,圆心到该直线的距离d=|2k-0+k|1+k222,计算得-22k22.对照选项,知BCD均有可能.答案BCD12.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2b解析由题意,由圆C2的方程可化为C2:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0两圆的方程相减可
7、得直线AB的方程为:2ax+2by-a2-b2=0,即2ax+2by=a2+b2,分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入可得:2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2两式相减可得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,所以选项A、B正确;由圆的性质可得,线段AB与线段C1C2互相平分,所以x1+x2=a,y1+y2=b,所以选项C正确,选项D不正确.答案ABC三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则
8、a=.解析由题意可知,直线x-y+2=0过圆心-1,-a2,所以-1-a2+2=0,a=-2.答案-214.一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面的高度不得超过米.解析如图是卡车在隧道内的截面图,由题意知OA=3.6米,AB=0.8米,则车高OB=OA2-AB2=3.62-0.823.5(米).答案3.515.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则a的取值范围是.解析如图,直线ax+y+2=0恒过点C(0,-2),kAC=-52,kBC=43,故-52-a43,即-43a52.答案-43,5216.在Rt
9、ABO中,BOA=90,|OA|=8,|OB|=6,点P为它的内切圆C上任一点,求点P到顶点A,B,O的距离的平方和的最大值是,最小值是.解析如图所示,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,则A(8,0),B(0,6),内切圆C的半径r=126812(6+8+10)=2.圆心坐标为(2,2).内切圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.设P(x,y)为圆C上任一点,点P到顶点A,B,O的距离的平方和为d,则d=|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2=3x2+3y2-16x-12y+100=3(x-2)2+(y-2)2-4x+76
10、.点P(x,y)在圆上,(x-2)2+(y-2)2=4.d=34-4x+76=88-4x.点P(x,y)是圆C上的任意点,x0,4.当x=0时,dmax=88;当x=4时,dmin=72.答案8872四、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知点A(0,2)是圆x2+y2=16内的定点,B,C是这个圆上的两个动点,若BACA,求BC中点M的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么曲线.解设点M(x,y).M是弦BC的中点,OMBC.又BAC=90,|MA|=12|BC|=|MB|.|MB|2=|OB|2-|OM|2,|OB|2=|MO|2+|MA|2,即42=(x2+y2)+(x-0)
11、2+(y-2)2,化简为x2+y2-2y-6=0,M的轨迹方程为即x2+(y-1)2=7.所求轨迹为以(0,1)为圆心,以7为半径的圆.18.(本小题满分12分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(kR).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.(1)证明直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0,令x+2=0,1-y=0,解得x=-2,y=1.无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).(2)由题意可知k0,再由l的方程,得A-1+2kk,0,B(0,1+2k).依题意得-1+2kk0,
12、解得k0.S=12|OA|OB|=121+2kk|1+2k|=12(1+2k)2k=12(4k+1k+4)12(22+4)=4,“=”成立的条件是k0且4k=1k,即k=12,Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.19.(本小题满分12分)有一种大型商品,A,B两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每千米的运费A地是B地的两倍,若A,B两地相距10千米,顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点?解以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,如图所示.设A(-5,0),则B(5,0).在
13、坐标平面内任取一点P(x,y),设从A地运货到P地的运费为2a元/千米,则从B地运货到P地的运费为a元/千米.若P地居民选择在A地购买此商品,则2a(x+5)2+y2a(x-5)2+y2,整理得x+2532+y22032.即点P在圆C:x+2532+y2=2032的内部.也就是说,圆C内的居民应在A地购物.同理可推得圆C外的居民应在B地购物.圆C上的居民可随意选择A,B两地之一购物.20.(本小题满分12分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l过定点A(1,0).(1)若l与圆C相切,求l的方程;(2)若l与圆C相交于P、Q两点,求CPQ的面积的最大值,并求此时直线l的方程.(其中
14、点C是圆C的圆心)解(1)直线l斜率不存在时,直线l的方程为x=1,此时直线l和圆C相切,直线l斜率存在时,设方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,利用圆心到直线的距离等于半径得:d=|3k-4-k|k2+1=2,解得k=34,直线方程为y=34x-34,故所求直线方程为x=1或3x-4y-3=0.(2)CPQ面积最大时,PCQ=90,S=1222=2,即CPQ是等腰直角三角形,由半径r=2得:圆心到直线的距离为2,设直线l的方程为:y=k(x-1),即kx-y-k=0,d=|2k-4|k2+1=2,解得k=7或1,所以所求的直线方程为y=7x-7或y=x-1.21.(本小题满分12分)
15、在平面直角坐标系中,已知圆心C在直线x-2y=0上的圆C经过点A(4,0),但不经过坐标原点,并且直线4x-3y=0与圆C相交所得的弦长为4.(1)求圆C的一般方程;(2)若从点M(-4,1)发出的光线经过x轴反射,反射光线刚好通过圆C的圆心,求反射光线所在的直线方程(用一般式表达).解(1)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为圆心C在直线x-2y=0上,所以有a-2b=0,又因为圆C经过点A(4,0),所以有(4-a)2+b2=r2,而圆心到直线4x-3y=0的距离为d=|4a-3b|42+(-3)2=|4a-3b|5,由弦长为4,所以弦心距d=r2-22,所以|4a-3b|
16、5=r2-22,联立,解得a=2,b=1,r=5或a=6,b=3,r=13,又因为(x-2)2+(y-1)2=5通过坐标原点,所以a=2,b=1,r=5舍去.所以所求圆的方程为:(x-6)2+(y-3)2=13,化为一般方程为:x2+y2-12x-6y+32=0.(2)点M(-4,1)关于x轴的对称点N的坐标为(-4,-1),反射光线所在的直线即为NC,又因为点C的坐标为(6,3),所以反射光线所在的直线方程为:y+1x+4=3+16+4,所以反射光线所在的直线方程的一般式为2x-5y+3=0.22.(本小题满分12分)已知点P(2,1)是圆O:x2+y2=8内一点,直线l:y=kx-4.(1
17、)若圆O的弦AB恰好被点P(2,1)平分,求弦AB所在直线的方程;(2)若过点P(2,1)作圆O的两条互相垂直的弦EF,GH,求四边形EGFH的面积的最大值;(3)若k=12,Q是l上的动点,过Q作圆O的两条切线,切点分别为C,D.证明:直线CD过定点.解(1)由题意知ABOP,kABkOP=-1,kOP=12,kAB=-2,因此弦AB所在直线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.(2)设点O到直线EF、GH的距离分别为d1,d2,则d12+d22=|OP|2=5,|EF|=2r2-d12=28-d12,|GH|=2r2-d22=28-d22.S四边形EGFH=12|EF|GH|=2(8-d12)(8-d22)=2(8-d12)(d12+3)=2-d14+5d12+24=2-(d12-52)2+121411,当d1=102=d2时取等号.所以四边形EGFH面积的最大值为11.(3)证明:由题意可知C、D两点均在以OQ为直径的圆上,设Qt,t2-4,则该圆的方程为x(x-t)+yy-12t+4=0,即:x2-tx+y2-12t-4y=0.又C、D在圆O:x2+y2=8上,所以直线CD的方程为tx+12t-4y-8=0,即tx+12y-4(y+2)=0,由x+12y=0,y+2=0得x=1,y=-2,所以直线CD过定点(1,-2).
