1、第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理1.下列说法正确的是()A.合情推理就是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理就是从一般到特殊的推理D.类比推理就是从特殊到特殊的推理解析:归纳推理和类比推理统称为合情推理,合情推理得到的结论不一定正确,故选项A,B错误;归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,故选项C错误;类比推理就是从特殊到特殊的推理,故选项D正确.答案:D2.平面内平行于同一直线的两直线平行,由此类比到空间中我们可以得到()A.空间中平行于同一直线的两直线平行B.空间中平行于同一平面的两直线平行C.空间中平行于同一直线的两平面平行D.空间中平行于同一平
2、面的两平面平行解析:利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.故选D.答案:D3.如图所示,着色的三角形的个数依次构成数列an的前4项,则这个数列的一个通项公式为()A.an=3n-1B.an=3nC.an=3n-2nD.an=3n-1+2n-3解析:a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,猜想an=3n-1.答案:A4.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适()A.三角形B.梯形C.平行四边形D.矩形解析:点类比为线,线类比为面,面类比为体.答案:C5.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形.根据数组中的数构成的规律,其中的a所表示的数是()A.
3、2B.4C.6D.8解析:经观察、分析杨辉三角形可以发现,每行除1外,每个数都是它肩上的两数之和.由此可推知a=3+3=6,故选C.答案:C6.设等差数列an的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4,成等比数列.解析:将等差数列中的运算类比等比数列中的运算时,加法类比于乘法,减法类比于除法,故可得类比结论为:设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4,成等比数列.答案:7.在ABC中,D为BC的中点,则),将命题类比到四面体中,得到一个类比命题:.答案:在四面体A-BCD中,G为BCD的重心,则)8.三角形
4、与四面体有下列相似性质:(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形;四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形.(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形;四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表:三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半,且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心解析:已知三角形和四面体的“外在”性质,合理寻找类比对象对二者的“内在”性质进行探究.三角形和四面体分别
5、是平面图形和空间图形,三角形的边对应四面体的面,即平面的线类比到空间为面,三角形的中位线对应四面体的中位面(三条棱的中点所确定的三角形面),三角形的内角对应四面体的二面角,三角形的内切圆对应四面体的内切球.答案:三角形四面体三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半,且平行于第三边四面体的中位面的面积等于第四个面的面积的,且中位面平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点,且这个点是四面体内切球的球心9.根据下列条件,写出数列的前4项,并归纳猜想它的通项公式.(1)a
6、1=0,an+1=an+(2n-1)(nN*);(2)a1=1,an+1=an(nN*).解:(1)当n=1时,由a1=0,an+1=an+(2n-1)(nN*),得a2=a1+1=1,a3=a2+3=4,a4=a3+5=9,由a1=02,a2=12,a3=22,a4=32可归纳猜想an=(n-1)2(nN*).(2)当n=1时,由a1=1,an+1=an(nN*)得a2=a1=,a3=a2=,a4=a3=,由a1=,a2=,a3=,a4=可归纳猜想an=(nN*).10.平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点.若f(n)表示这n个圆把平面分割成的区域数,试求f(n).解:f(n)表示n个圆把平面分割成的区域数,如果再有一个圆和这n个圆相交,那么增加2n个交点,这些交点将增加的这个圆分成2n段弧,且每段弧又将原来的平面区域一分为二.因此增加一个圆后,平面被分成的区域数增加2n个,即f(n+1)=f(n)+2n.所以f(n+1)-f(n)=2n.由题意知f(1)=2,由递推公式得f(2)-f(1)=21,f(3)-f(2)=22,f(4)-f(3)=23,f(n)-f(n-1)=2(n-1).将以上(n-1)个等式累加,得f(n)=2+21+2+3+(n-1)=2+2=n2-n+2,即f(n)=n2-n+2.
