1、2020-2021学年山东省潍坊市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题)1. 若向量a=-4,2,1与向量b=2,x,y共线，则x-y=( )A.-32B.-12C.12D.12. 已知过点Aa,2，B-1,4的直线的斜率为-1，则a=( )A.-2B.-1C.1D.23. 圆x2+y2=9和圆x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是( )A.外离B.相交C.内切D.外切4. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中商功有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主
2、人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈=106立方寸），一斛粟米卖324钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子( )A.200两B.400两C.432两D.480两5. 已知直线aa-1x+y-1=0与直线3x+ay+1=0垂直，则实数a=( )A.12B.0或12C.0或23D.236. 过点A0,0，B2,2且圆心在直线y=2x-4上的圆的标准方程为( )A.x-22+y2=4B.x+22+y2=4C.x-42+y-42=8D.x+42+y-42=87. 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，D1D的中点
3、，则异面直线EF与BD所成的角为( )A.30B.45C.60D.1208. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，DAB=60，E是AB的中点，将ADE沿直线DE翻折至A1DE的位置，使得面A1ED面BCDE，则点A1到直线DB的距离为( )A.72B.74C.32D.3二、多选题)9. 若m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A.若m，n/，则mnB.若n，n/m，则mC.若m，m/，则D.若，m/，则m10. 在同一平面直角坐标系中，表示直线l1：y=ax+b与l2：y=bx-a的图象可能正确的是( )A.B.C.D.11. 如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的
4、高为23，AD1=42，AD1D1C，则下述正确的是( )A.AB=42B.B1CA=45C.三棱锥B1-CAD1外接球的半径为23D.点D到面AB1C的距离为2312. 已知圆C:x2+y2=4，直线l:x+y+m=0，则下列结论正确的是( )A.当m=2时，直线l与圆C相交B.Px1,y1为圆C上的点，则x1-12+y1-222的最大值为9C.若圆C上有且仅有两个不同的点到直线l的距离为1，则m的取值范围是2m32D.若直线l上存在一点P，圆C上存在两点A，B，使APB=90，则m的取值范围是-4,4三、填空题)13. 点1,1到直线x+y+1=0的距离为_.14. 一个漏斗的上半部分是一
5、个长方体，下半部分是一个四棱锥，两部分的高都为12米，公共的底面是边长为1米的正方形，那么这个漏斗的容积为_米3.15. 一条光线从点2,3射出，经y轴反射后与圆x-32+y+22=1相切，则反射光线所在直线的斜率为_.16. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为棱A1C1上的点且BC1/平面AB1D，则A1DDC1=_已知AB=BC=AA1=1，AC=2，以D为球心，以52为半径的球面与侧面AA1B1B的交线长度为_.四、解答题)17. 如图，在空间四边形OABC中，2BD=DC，点E为AD的中点，设OA=a，OB=b，OC=c. (1)试用向量a，b，c表示向量OE；(2)若OA
6、=OC=3，OB=2，AOC=BOC=AOB=60，求OEAC的值18. 已知圆C:x2+y2+ax=0过点322,-62. (1)求圆C的标准方程及其圆心、半径；(2)若直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于M，N两点，点P为圆C上任意一点，求MNP面积的取值范围19. 从BG=2GC，G是PB的中点，G是PBC的内心三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD底面ABCD，且PD=1，AB=3，AD=2，E，F分别为PC，BD的中点 (1)判断EF与平面PAD的位置关系，并证明你的结论；(2)若G是侧面PBC上的一点，且_，求三棱锥G
7、-DCE的体积注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分20. 某工厂M（看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）OA与OB之间已知M到高速公路OA的距离是9千米，到高速公路OB的距离是18千米，AOB=60以O为坐标原点，以OA为x轴建立如图所示的平面直角坐标系 (1)求直线OB的方程；(2)现紧贴工厂M修建一直线公路连接高速公路OA和OB，与OA的连接点为C，与OB的连接点为D，且M恰为该路段CD的中点，求CD的长度21. 如图，几何体为圆柱的一半，四边形ABCD为圆柱的轴截面，点E为圆弧AB上异于A，B的点，点F为线段ED上的动点 (1)求证：BEAF；(2)若AB=2，AD=1，
8、ABE=30，且直线CA与平面ABF所成角的正弦值为1510，求平面ABF与平面ADE所成锐二面角的余弦值22. 在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l:y=7x+4上，B7,3，以线段AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l相交于另一个点D，ABCD. (1)求圆C的标准方程；(2)若点A不在第一象限内，圆C与x轴的正半轴的交点为P，过点P作两条直线分别交圆于M，N两点，且两直线的斜率之积为-5，试判断直线MN是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由参考答案与试题解析2020-2021学年山东省潍坊市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1. B2. C3. B4. D5. C
9、6. A7. C8. A二、多选题9. A,B,C10. A,C11. A,B,D12. A,D三、填空题13. 32214. 2315. -43或-3416. 1,3四、解答题17. 解：(1)因为2BD=DC，所以BD=13BC=13OC-OB=13c-b，所以OD=OB+BD=b+13c-b=23b+13c.因为点E为AD的中点，所以OE=12OA+OD=12a+13b+16c(2)由题意知ac=92，ab=3，cb=3，AC=c-a，所以OEAC=12a+13b+16cc-a=-12a2+16c2+13ac+13bc-13ba=-3218. 解：(1)由题意可得，3222+-622+3
10、22a=0，解得a=-22，所以圆C的方程为x2+y2-22x=0，即圆C的标准方程为x-22+y2=2，其圆心为2,0，半径为2(2)由题意可得，M-2,0，N0,-2，所以|MN|=2，所以圆心到直线MN的距离为|2+0+2|12+12=2，所以点P到直线MN的最小距离为2-2，最大距离为2+2，所以MNP的面积的最小值为1222-2=2-2，最大值为1222+2=2+2，所以MNP的面积的取值范围为2-2,2+219. 解：(1)EF/平面PAD.证明如下：如图，连结AC，则AC与BD交于F点，因为在PAC中，E，F分别为PC，BD的中点，四边形ABCD是矩形，所以EF/PA又因为EF平
11、面PAD，PA平面PAD，所以EF/平面PAD(2)因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDBC，PDDC.又因为底面ABCD是矩形，所以CDBC.因为PDCD=D，所以BC平面PDC.在PDC中，E为PC的中点，所以SCDE=12SPDC=1212PDDC=34.选择条件.因为BG=2GC，所以G是BC的三等分点且GC=13BC.又因为BC=AD=2，所以三棱锥G-DCE的高为GC=23，所以VG-DCE=13SDCEGC=133423=318，所以三棱锥G-DCE的体积是318选择条件.因为G是PB的中点，E是PC的中点，所以在PBC中，GE=/12BC，所以三棱
12、锥G-DCE的高为GE=1，所以VG-DCE=13SDCEGE=13341=312，所以三棱锥G-DCE的体积是312选择条件.设PBC的内切圆与PC边相切于点H，则GHPC，又因为BC平面PCD，PC平面PCD，所以BCPC，所以GH/BC，所以三棱锥G-DCE的高为GH.在RtPDC中，PC=PD2+DC2=2，BC=2，所以PB=PC2+BC2=22，所以GH=122212(2+2+22)=2-2，所以VG-DCE=13SDCEGH=1334(2-2)=23-612，所以三棱锥G-DCE的体积是23-61220. 解：(1)因为AOB=60，所以直线OB的斜率为3，所以直线OB的方程为y
13、=3x(2)设Ma,9，因为OB的方程为y=3x，所以|3a-9|2=18，解得a=153或a=-93（舍）所以M(153,9).设C(x1,0)，D(x2,y2)，因为M为CD的中点，D在OB上，所以x1+x22=153，0+y22=9，y2=3x2，解得y2=18，x2=63，x1=243，所以CD=(243-63)2+(18)2=36，所以公路段CD的长度为36千米21. (1)证明：因为四边形ABCD为圆柱的轴截面，所以AB为底面半圆的直径，所以BEAE.因为AD为圆柱的母线，所以AD平面ABE.因为BE面ABE，所以ADBE.因为ADAE=A，AD面ADE，AE面ADE，所以BE面A
14、DE.因为AF面ADE，所以BEAF.(2)解：在上底面圆弧CD上取一点E，使得EE为母线，故EE，EB，EA两两垂直如图，以点E为坐标原点，建立空间直角坐标系E-xyz.因为ABE=30，AB=2，则E(0,0,0)，D(0,1,1)，C(3,0,1)，B(3,0,0)，A(0,1,0)，则ED=(0,1,1).设EF=ED=(0,)，0,1，则F(0,)，则BF=(-3,)，AF=0,-1,.设平面ABF的法向量n1=x,y,z.则BFn1=0，AFn1=0，得-3x+y+z=0，-1y+z=0.令z=-1，得x=-3，y=-，所以n1=-3,-,-1，CA=-3,1,-1.设CA与面AB
15、F所成角为，则sin=|cos|=|CAn1|CA|n1|=|-1523+2+-12|=1510，解得=13，所以点F为ED靠近点E的三等分点，则n1=-133,-13,-23.取面ADE的法向量n2=1,0,0.设平面ABF与平面ADE所成锐二面角为，cos=|cos|=|n1n2|n1|n2|=|-1331627|=14，所以平面ABF与平面ADE所成锐二面角的余弦值为14.22. 解：1因为BDAD，所以kDB=-17设Da,7a+4，得7a+4-3a-7=-17，解得a=0，所以D(0,4).在ABD中，ABCD，C为AB中点，所以|AD|=|BD|.设A坐标为(b,7b+4)，则(b
16、-0)2+(7b+4-4)2=(7-0)2+(3-4)2，解得b=1或-1.当b=1时，A坐标为(1,11)，2R=2|AD|=10，圆心为4,7，此时圆的标准方程为x-42+y-72=25；当b=-1时，A坐标为-1,-3，2R=2|AD|=10，圆心为3,0，此时圆的标准方程为x-32+y2=25.综上，圆的标准方程为x-42+y-72=25或x-32+y2=25.(2)由题意知，圆的标准方程为x-32+y2=25，因为圆C与x轴的正半轴的交点为P，所以P(8,0)，所以设直线MP的方程为y=kx-8，联立得y=kx-8,x-32+y2=25，消去y得1+k2x2-6+16k2x+64k2
17、-16=0，所以xMxP=64k2-161+k2，所以xM=8k2-2k2+1，所以M8k2-21+k2,-10k1+k2，因为两条直线斜率积为-5，用-5k代替k，得N200-2k225+k2,50k25+k2.直线MN的斜率存在，即k25时，kMN=50kk2+25+10kk2+1200-2k2k2+25-8k2-2k2+1=60k3+300k-10k4+250=6k(k2+5)-k4+25=6k-k2+5，所以直线MN方程为y-10k1+k2=6k5-k2x-8k2-21+k2，即y=6k5-k2x-8k2-21+k2-5-k26k10k1+k2，即y=6k5-k2x-193，则直线MN过定点193,0；当直线MN的斜率不存在，即k2=5时，直线MN方程为x=193，过定点193,0.综上可得，直线MN过定点193,0
