1、北京一零一中学2019-2020学年度第二学期高三数学统练（二）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1.已知全集，则图中阴影部分表示的集合是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过韦恩图，可知所求集合为，求解出集合，利用集合运算知识求解即可【详解】由，即图中阴影部分表示的集合为：又本题正确选项：【点睛】本题关键在于通过韦恩图确定所求集合，属于基础题2.若,则下列不等式恒成立的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】设代入可知均不正确对于，根据幂函数的性质即可判断正确故选D3.设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A. 若，则 B. 若，则C.
2、若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】对于A，利用空间中面面的位置关系即可判定A错误，对于B，利用线面垂直的性质即可判定B正确，对于C，利用面面垂直的判定即可得到C错误，对于D，利用线面的位置关系即可判定故D错误.【详解】若，则平面可能相交，也可能平行，故A错误.若，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确.若，则存在直线，使，则，故此时，故C错误.若，则与可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误.故选：B.【点睛】本题主要考查空间中面面的位置关系和线面的位置关系，同时考查了线面垂直的性质，属于简单题.4. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），
3、则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）A. 46，45，56B. 46，45，53C. 47，45，56D. 45，47，53【答案】A【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即众数是45，极差为68-12=56.所以选A.点评：此题主要考察样本数据特征的概念，要正确地理解样本数据特征的概念以及正确地用来估计总体.5.“”是“关于x的实系数方程有虚数根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先求出关于x的实系数方程有虚数根的充要条件为：，即，再由“”与“”的关系得解【详解】解：关于x的实系数方程有虚数根的充要条
4、件为：，即，又“”不能推出“”，“”能推出“”，即“”是“关于x的实系数方程有虚数根”的必要不充分条件，故选B【点睛】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及简易逻辑知识，属简单题6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过正弦定理可得的范围即为的范围，通过整理可求得，再利用的范围求得的取值范围，得到最终结果【详解】即又，即 本题正确选项：【点睛】本题的关键是运用正弦定理将边长关系变为角的关系；需要注意的是在求解最终结果时，要注意角的范围对三角函数取值范围的影响7.已知函数，若方程的解为， （），则（ ）A. B. C
5、. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定的值.【详解】函数的对称轴满足：，即，令可得函数在区间上的一条对称轴为，结合三角函数的对称性可知，则：，由题意：，且，故，由同角三角函数基本关系可知：.故选B.【点睛】本题主要考查三角函数对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.已知向量、满足，且，则、中最小的值是（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】利用已知条件作差比较可知.【详解】因为, 所以,所以,所以,同理可得,故最小.故选.【点睛】本题考查了平面向
6、量的数量积和比较法比较大小,属于中档题.9.已知双曲线C：左、右焦点分别为，离心率为e，过点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，且，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图：，设，则，由双曲线定义可得：，故，解得则在中，由勾股定理可得：即得故选点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系，依据题意得到直角三角形，本题的关键是求出三角形三边的长度与的数量关系，借助勾股定理求出离心率的取值，本题属于中档题，需要理解关键步骤10.对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作，若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（
7、）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出点集S=P|d（P，l）1所表示图形，分别求出各部分图形的面积，作和得答案.【详解】点集S=P|d（P，l）1所表示图形如图中的阴影部分所示：其中三个顶点处的扇形正好是一个半径为1的圆，其面积为，等边三角形ABC外的三个矩形面积为6，等边三角形ABC内的部分面积为-=18-故面积和为，故选D.【点睛】本题考查曲线与方程，考查数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，是中档题二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11.展开式的常数项为 （用数字作答）【答案】-160【解析】【详解】由，令得，所以展开式的常数项为.考点：二项式定理.
8、12.过点作直线与圆交于、两点，如果，则的方程为_.【答案】或【解析】【分析】首先根据题意得到圆心，半径等于，根据弦长公式得到圆心到直线的距离等于，再分别讨论斜率是否存在，求直线方程即可.【详解】圆，即，所以圆心，半径等于，设圆心到直线的距离为，由弦长公式得：，所以.当直线的斜率不存在时，方程为，满足条件.当直线的斜率存在时，设斜率等于，直线的方程为，即，由圆心到直线的距离等于得： ，解得，直线的方程为.综上，满足条件的直线的方程为或，故答案为：或【点睛】本题主要考查直线与圆相交的弦长问题，弦长公式为解题的关键，属于中档题.13.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_【答案
9、】【解析】【分析】在正方体中作出该四棱锥，借助长方体求出各棱长，即可得出最大值.【详解】由三视图在正方体中作出该四棱锥，由三视图可知该正方体的棱长为，所以，.因此该四棱锥的最长棱的长度为.故答案为【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图先还原几何体，进而可求解，属于常考题型.14. 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题 若函数的图象与的图象关于 对称，则函数 （注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）【答案】轴，；或：轴，；或：原点，；或：直线，【解析】试题分析：基于对对数函数图象、指数函数图象的认识，从多角度考虑轴，；或：轴，；或：原点，；或：直线，均
10、可考点：本题主要考查命题的概念及其关系、对数函数的图象和性质点评：属开放性题目，注意运用数形结合思想15.已知函数.当时，若函数有且只有一个极值点，见实数取值范围是_；若函数的最大值为1，则_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】首先求出当时的极值点，根据题意即可得到的取值范围.分别讨论当，和时，求出函数的最大值，比较即可求出的值.【详解】当时，.，令，解得.因为函数在有且只有一个极值点，所以.当时，此时，舍去.当时，.，.所以，因为，所以.当时，.，令，解得.，为增函数，为减函数.，.当时，即，解得.当当时，即，解得，舍去.综上所述：.故答案为：，【点睛】本题主语考查利用导数求含参
11、函数的极值点和最值，分类讨论是解题的关键，属于难题.16.数列的前n项和为，若数列的各项按如下规律排列：，有如下运算和结论：；数列，是等比数列；数列，的前项和为；若存在正整数，使，则.其中正确的结论是_.（将你认为正确的结论序号都填上）【答案】【解析】【分析】根据数列规律列出前项即可判定正确.根据数列，是，1，2，即可得到等差数列，故不正确.利用等差数列的前项和公式即可判定正确.通过列出数列中的项和计算，即可判定正确.【详解】前24项构成的数列是：，所以，故正确.数列，是，1，2，由等差数列定义（常数）所以数列，是等差数列，故不正确.因为数列，是等差数列，所以由等差数列前项和公式可知：，故正确
12、.由知：，是，1，2，.因为，所以存在，使，且.故正确.故答案为：.【点睛】本题主要考查探究数列的规律，同时考查了等差数列的性质和数列的证明，属于难题.三、解答题（共6小题）17.在锐角中，角所对的边分别是，且(1)求角的大小；(2)若的面积，,求的值【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)利用倍角公式和诱导公式化简题设中的三角函数式，从而可得的值.(2)先求，再利用余弦定理求出，最后利用正弦定理求出.【详解】(1),，可得， 解得，或.为锐角三角形，(2)，可得. 又,可得. 在中，由余弦定理可知，.在中，由正弦定理可知,.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一
13、般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.18.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，平面ADE平面CDEF，ADE60，DECF，CDDE，AD2，DEDC3，CF4，点G是棱CF上的动点（）当CG3时，求证EG平面ABF；（）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值；（）若二面角GAED所成角的余弦值为，求线段CG的长【答案】（）证明见详解；（）；（）【解析】【分析】（1）通过证明直线ABEG，从
14、而由线线平行推证线面平行；（2）过A作DE垂线AO，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，从而求解线面角的正弦值；（3）由（2）中所建的直角坐标系，根据二面角GAED所成角的余弦值，求得G点的坐标，即可求得CG的长度.【详解】（）证明：由已知得CGDE且CGDE，故四边形CDEG为平行四边形，CDEG，四边形ABCD为平行四边形，CDAB，ABEG，又EG平面ABF，AB平面ABF，EG平面ABF（）过点A作AODE交DE于点O，过点O作OKCD交CF于点K由（1）知平面ADE平面CDEF，平面ADE平面CDEFDE，AO平面ADE，AO平面CDEF，CDDE，
15、OKDE，以O为原点建立如图的空间直角坐标系，则D（0，1，0），E（0，2，0），C（3，1，0），F（3，3，0），D（0，1，0），设平面ABCD的法向量为，即，令z1，则，直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为，（）由题意得，G（3，41，0），设平面AEG的法向量为，即，令y3，则，x34，容易得平面AED的法向量为，故可得，解得，|CG|CF|4，|CG|4，【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及由向量法求解线面角，利用二面角的大小求解线段的长度，属综合性中档题；本题的难点在于坐标系的选择.19.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，
16、X3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”
17、为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：（1）产品的“性价比”=；（2）“性价比”大的产品更具可购买性.【答案】（I），；（II）；（III）乙工厂的产品更具可购买性，理由见详解.【解析】【详解】(1)EX1=6，50.4+6a+7b+80.1=6，即6a+7b=3.2，又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5，由6a+7b=3，2a+b=0.5，解得，；.(2)由已知得，样本的频率分布列如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P0.
18、30.20.20.10.10.1EX2=3P(X2=3)+4P(X2=4)+5P(X2=5)+6P(X2=6)+7P(X2=7)+8P(X2=8)=30.3+40.2+50.2+60.1+70.1+80.1=4.8，乙厂产品的等级系数的数学期望等于.(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,其性价比为66=1.乙厂产品的等级系数的期望等于4.8,价格为4元/件,其性价比为4.84=1.2.据此,乙厂的产品更具可购买性.20.已知函数，其定义域为.（其中常数，是自然对数的底数）（1）求函数的递增区间；（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明: .
19、【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）由题意，问题转化为，令，即证，根据函数的单调性，即可作出证明【详解】（1）易知，若，由解得，函数的递增区间为；若，则1+0-0+极大值极小值函数的递增区间为和；若，则，函数的递增区间为；若，则1+0-0+极大值极小值函数的递增区间为和；综上，若，的递增区间为；若，的递增区间为和；若，函数的递增区间为； 若，函数的递增区间为和.（2）函数为上的增函数，即，注意到，故，不妨设，欲证，只需证，只需证，即证，即证，令，只需证， ，下证，即证，由熟知的不等式可知，当时，即， ，易知当时，即单调递
20、增，即，从而得证.【点睛】本题主要考查导数在函数中综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于不等式的证明问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而证明；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题21.已知点，点A是直线上的动点，过作直线，线段的垂直平分线与交于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）若点，是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线的斜率为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意得到：点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以点F为焦点，直线为准线的抛物线，再利用抛物线的定义
21、即可得到曲线的方程.（2）首先设，点，点，求出直线的方程，根据圆心到直线的距离为，得到，同理得到，即是关于的方程的两根，再根据韦达定理得到，再求的范围即可.【详解】（1）因为点，点是直线上的动点，过作直线，线段的垂直平分线与交于点，所以点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以点F为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）设，点，点，直线的方程为：，化简得，因为的内切圆的方程为，所以圆心到直线的距离为，即，整理得：，由题意得，所以上式化简得，同理，有.所以是关于的方程的两根，.所以，因，所以，直线的斜率，则，所以，因为函数在单调递增，所以，所以0.即的取值范围是.【点睛】本题第
22、一问考查利用抛物线的定义求抛物线的标准方程，第二问考查直线与圆相切，同时考查了抛物线的性质，属于难题.22.已知数列的前项和为，且，.（1）若数列是等差数列，且，求实数的值；（2）若数列满足，且，求证：数列是等差数列；（3）设数列是等比数列，试探究当正实数满足什么条件时，数列具有如下性质：对于任意的，都存在使得，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数的集合.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）首先根据，求出，再计算即可.（2）首先由得到，由且，得到数列的通项公式，即可证明数列是等差数列.（3）有题意得：，然后对分类讨论，可知当，时，数列不具有性质.当时，对任意，都有
23、，即当时，数列具有性质.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，则，所以.（2）因为，所以，解得，因为，当为奇数时，.当为偶数时，.所以对任意，都有.当时，即数列是等差数列.（3）解：由题意，是等比数列，.当时，所以对任意，都有，因此数列不具有性质.当时，.所以对任意，都有，因此数列不具有性质.当时，.，.取（表示不小于的最小整数），则，.所以对于任意，.即对于任意，都不在区间内，所以数列不具有性质.当时，且，即对任意，都有，所以当时，数列具有性质.综上，使得数列具有性质的正实数的集合为.【点睛】本题第一问考查等差数列的性质，第二问考查等差数列的证明，第三问考查等差和等比数列的综合应用，属于难题.
