1、课后素养落实(二十五)球的表面积和体积(建议用时：40分钟)一、选择题1把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为()A3 cmB6 cmC8 cmD12 cmD由R36383103，得R31 728，检验知R122一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是()A B C DA设正方体棱长为a，球半径为R，由6a24R2得，所以3将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A2 B3 C4 D6B由题意知，该几何体为半球， 表面积为大圆面积加上半个球面积， S1241234将棱长为2的正方体削成一个
2、体积最大的球，则这个球的体积为()A B C D4B根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r1，所以Vr35已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B C DB设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形r圆柱的体积为Vr2h1故选B二、填空题6若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为_3设此球的半径为R，则4R2R3，R37已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，过点H的平面截球O所得截面圆的圆心为点H，且截面圆的面积为
3、4，则球O的表面积为_18设球O的半径为RAHHB12，截面与球心O的距离为R截面圆的面积为4，截面圆的半径r2，R222，R2，球O的表面积S4R2188圆柱形容器内盛有高为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_ cm4设球的半径为r cm，则3r3r28r26r，解得r4三、解答题9某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积解该组合体的表面积S4r22rl41221310该组合体的体积Vr3r2l1312310已知过球面上A，B，C三点的截面和球心
4、的距离等于球半径的一半，且AB18，BC24，AC30，求球的表面积和体积解因为ABBCAC182430345，所以ABC是直角三角形，B90又球心O到截面ABC的投影O为截面圆的圆心，也是RtABC的外接圆的圆心，所以斜边AC为截面圆O的直径(如图所示)，设OCr，OCR，则球半径为R，截面圆半径为r，在RtOCO中，由题设知sinOCO，所以OCO30，所以cos 30，即Rr，(*)又2rAC30r15，代入(*)得R10所以球的表面积为S4R24(10)21 200球的体积为VR3(10)34 0001已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC
5、，AA112，则球O的表面积为()A153 B160 C169 D360C由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，其体对角线就是外接球的直径，所以球O的半径R，所以球O的表面积S4169，故选C2如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为()A43 B31 C32 D94C画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则ODr，PO2r，PDO90，CPB30又PCB90，CBPCr，PB2r，圆锥的侧面积S1r2r6r2，球的表面积S24r2，S1S2323在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球 若ABBC，AB6，BC
6、8，AA13，则V的最大值是_当球的半径最大时，球的体积最大在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为ABBC，AB6，BC8，所以AC10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r2，直径为4侧棱 所以球的最大直径为3，半径为，此时体积V4已知体积为的正三棱锥VABC的外接球的球心为O，满足0，则该三棱锥外接球的体积为_由题意知，说明正三角形ABC的顶点在球O的大圆上设球的半径为R，则该三棱锥的底面正三角形ABC的高为，ABC的边长为R，所以正三棱锥VABC的体积为(R)2R，解得R34，则该三棱锥外接球的体积为R3一个高为16的圆锥内接于一个体积为972的球，在圆锥里又有一个内切球求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥内切球的体积解(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于SAB设圆O的半径为R，则有R3972，R9，SE2R18SD16，ED2连接AE，又SE是圆O的直径，SAAE，SA2SDSE1618288，SA12ABSD，D为AB中点，AD2SDDE16232，AD4S圆锥侧ADSA41296(2)设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r，SAB的周长为2(124)32，r32816，解得r4故圆锥内切球的体积V球r3.
