1、6.1平面向量的概念学 习 任 务核 心 素 养1理解向量的有关概念及向量的几何表示(重点)2理解共线向量、相等向量的概念(难点)3正确区分向量平行与直线平行(易混点)1从物理背景、几何背景入手，从矢量概念引入向量的概念，提升数学抽象的核心素养2类比实数在数轴上的表示，给出向量的几何意义，培养数学抽象和直观想象的核心素养3通过相等向量和平行向量的学习，提升逻辑推理的核心素养高尔夫球是一项非常有趣的运动，这项运动需要全身器官的整体协调，而击球的关键在于两个“D”，即方向(Direction)和距离(Distance)，初学者中有不少人只想把球打远，而忽视方向的重要性，其实，把球打直要比打远更重要
2、！所以擅长打高尔夫的人都会谨记这样一个原则：“方向比距离更重要” 方向走对了，哪怕走得慢却能一步一步靠近成功；可倘若走错了方向，不仅白忙活一场，更可能离成功越来越远问题：你能从数学的角度来解释高尔夫球运动中“方向比距离更重要”的原因吗？知识点1向量与数量(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量1海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，那么海拔是向量吗？温度也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？提示海拔不是向量，它只有大小没有方向温度也是只有大小没有方向，不是向量海拔的正负、温度的零上或零下都只是相对规定的标准来说的，不是指方向1给
3、出下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程；密度；功；时间其中是向量的有_(填序号)质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，所以是向量知识点2向量的几何表示(1)具有方向的线段叫做有向线段它包含三个要素：起点、方向、长度(2)向量可以用有向线段来表示向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作|向量也可以用字母a，b，c，表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，2(1)向量可以比较大小吗？(2)有向线段就是向量吗？提示(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它
4、不是向量2如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出_个向量12由向量的几何表示，知可以写出12个向量，它们分别是，知识点3向量的有关概念零向量长度为0的向量，记做0单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量向量a，b平行，记作ab规定：零向量与任意向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量a与向量b相等，记作ab3“向量平行”与“几何中的直线平行”一样吗？提示向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行包括所在直线重合的情况，故也称向量共线3思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)长度为0的向量都是零向量()(2)零向量的方向
5、都是相同的()(3)单位向量的长度都相等()(4)单位向量都是同方向 ()(5)任意向量与零向量都共线()答案(1)(2)(3)(4)(5)4如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是_(填序号)(1)与；(2)与；(3)与；(4)与(1)(4)由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：， 类型1向量的有关概念【例1】判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；(2)若向量|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|b|，若a与b的方向相同，则ab；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则
6、向量a与b方向相同或相反解(1)不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系(3)正确因为|a|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得ab(4)不正确依据规定：0与任意向量平行(5)不正确因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定1理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向2共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同(3)平行向量可以共线
7、，与平面几何中的直线平行不同提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心方向和长度1给出下列命题：若ab，bc，则ac；若单位向量的起点相同，则终点相同；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上其中正确命题的序号是_错误若b0，则不成立；错误起点相同的单位向量，终点未必相同；正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；错误共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上 类型2向量的表示及应用【例2】(对接教材P5T1)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下
8、列向量：(1)，使|4，点A在点O北偏东45；(2)，使|4，点B在点A正东；(3)，使|6，点C在点B北偏东30解(1)由于点A在点O北偏东45处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等又|4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示(2)由于点B在点A正东方向处，且|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示(3)由于点C在点B北偏东30处，且|6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，于是点C位置可以确
9、定，画出向量如图所示用有向线段表示向量的基本思路是什么？提示用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定有向线段的终点必要时，需依据三角形的相关知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量2飞机从A地按北偏西15的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按南偏东75的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地的什么方向上？C地距A地多远？解如图所示，表示飞机从A地按北偏西15方向飞行到B地的位移，则|1 400 km表示飞机从B地按南偏东75方向飞行到C地的位移，则|1 400 km所以为飞机从A地到C地的位移在ABC中，ABBC1 400 km，且A
10、BC751560，故ABC为等边三角形，所以BAC60，AC1 400 km601545，所以C地在A地北偏东45方向上，距离A地1 400 km 类型3相等向量和共线向量【例3】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且a，b，c(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量1两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？提示不一定因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关2若，则从直线AB与直线CD的关系和与的方向关系两个方面考虑有哪些情况？提示分四种情况(1)直线AB和直线CD重合，与同
11、向；(2)直线AB和直线CD重合，与反向；(3)直线AB直线CD，与同向；(4)直线AB直线CD，与反向解(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，(2)与a共线的向量有，(3)与a相等的向量有，；与b相等的向量有，；与c相等的向量有，1本例条件不变，写出与向量相等的向量解相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以题图中与相等的向量有，2本例条件不变，写出与向量长度相等的共线向量解与长度相等的共线向量有：，3在本例中，若|a|1，则正六边形的边长如何？解由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，所以FOA为等边三角形，所以边长AF|a|1相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：
12、先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量3如图所示，ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点(1)写出与共线的向量；(2)写出与长度相等的向量；(3)写出与相等的向量解(1)E，F分别是AC，AB的中点，EFBC，与共线的向量为，(2)E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，EFBC，BDDCBC，EFBDDCAB，BC，AC均不相等，与长度相等的向量为
13、，(3)与相等的向量为，1正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，an，则这n个向量()A都相等B都共线C都不共线 D模都相等D因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等2汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是()A汽车的速度大于摩托车的速度B汽车的位移大于摩托车的位移C汽车走的路程大于摩托车走的路程D以上都不对C速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小3(多选题)下列条件，能使ab成立的有()Aab B|a|b|Ca与b方向相反 D|a|0或|b|0AC
14、D若ab，则a与b大小相等且方向相同，所以ab；若|a|b|，则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定有ab；方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与b方向相反，则有ab；零向量与任意向量都平行，所以若|a|0或|b|0，则ab4如图，在圆O中，向量，是()A有相同起点的向量B共线向量C模相等的向量D相等的向量C由题图可知，三向量方向不同，但长度相等，即这三个向量的模相等5如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，DAB60，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，(1)与平行的向量有_；(2)与模相等的向量有_答案(1)，(2)，回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)向量的概念是什么？如何用有向线段表示一个向量？(2)如何区别零向量、单位向量、平行向量与相等向量的概念？
