1、2.8直线与圆锥曲线的位置关系学 习 任 务核 心 素 养1通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系(重点)2会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题(重点、难点)通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、最值、范围等，提升逻辑推理、数学运算素养激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光
2、击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题知识点1直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2bxc0方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a0，02相交a0，01相切a0，00相离直线与双曲线a01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a0，02相交a0，01相切a0，00相离直线与抛物线a01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a0，02相交a0，01相切a0，00相离直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？提示不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交1思考辨析(正确的打“”，错误的打“
3、”)(1)平面上到定点A(1，0)和到定直线l：x2y30的距离相等的点的轨迹为抛物线()(2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2个()(3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件()答案(1)(2)(3)提示(1)(2)(3)必要不充分条件知识点2弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 |AB|x1x2|y1y2|2(1)过椭圆1的右焦点与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|_(2)抛物线y212x截直线y2x1所得弦
4、长等于()ABC2D2(1)(2)A(1)椭圆的右焦点为(1，0)，把x1代入1中得y2，y，|AB|(2)令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x28x10，x1x22，x1x2， |AB| 类型1直线与圆锥曲线的位置关系【例1】(对接教材人教B版P160例2)对不同的实数值m，讨论直线yxm与椭圆y21的位置关系解由得(xm)21，整理得5x28mx4m240此方程的实数根的个数由根的判别式决定，(8m)245(4m24)16(5m2)当m时，0，方程有两个不同的实数根，代入可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交当m或m时，0，方程有两个相等的实数根，代入可
5、得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切当m或m时，0，方程没有实数根，直线与椭圆相离1直线与圆锥曲线的公共点有零个、一个、两个，和直线与圆锥曲线相离、相切、相交不是等价关系2在直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消元后，要注意所得方程的二次项系数是否含有参数若含参数，则需按二次项系数是否为零进行讨论，只有当二次项的系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以利用判别式的符号来判断方程解的个数，进而说明直线与圆锥曲线的位置关系跟进训练1已知直线l与抛物线x22py(p0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是()A相交B相切C相离D相交或相切D当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴平行或重合
6、时，直线l与抛物线x22py(p0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的；当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x22py(p0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切 类型2弦长问题及中点弦问题【例2】椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|2，OC的斜率为，求椭圆的方程解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0而1，kOC，代入上式可得ba|AB|x2x1|2，即(x2x1)24，其中x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，又(x1x2)24x1x2(x2x1)24，44将
7、ba代入，解得a，b，所求椭圆的方程是y21法二：由得(ab)x22bxb10设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|AB|2，1设C(x，y)，则x，y1xOC的斜率为，代入，解得a，b，所求椭圆的方程是y21直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线是否适合题意.跟进训练2已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)证明：k证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1两式相减，并由k得k0由题设知1，m，于是k由题
8、设得0m，故k 类型3圆锥曲线中的最值及范围问题【例3】已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为3，其中一条渐近线的方程为xy0以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点(1)求椭圆E的方程；(2)若点P为椭圆E的左顶点，2，求|2|2的取值范围解(1)由双曲线1的焦距为3，得c，a2b2由题意知，由解得a23，b2，椭圆E的方程为y21(2)由(1)知P(，0)设G(x0，y0)，由2，得(x0，y0)2(x0，y0)即解得G设A(x1，y1)，则B(x1，y1)，|2|2yy2x2y2x3xx又x1，x0，3，x，|2|2的取值范围是求圆锥曲线中参
9、数的范围或最值常用哪些方法？提示1求参数范围的方法根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围2求最值问题的方法(1)几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图像来解决(2)代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法、单调性法等跟进训练3已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2B3CDB设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨假设y10，y20)，直线AB的方程为xtym，且直线AB与x轴的交点为M(m，0)由消
10、去x，得y2tym0，所以y1y2m又2，所以x1x2y1y22，即(y1y2)2y1y220，解得y1y21或y1y22，又点A，B在抛物线上且位于x轴的两侧，所以y1y22，故m2又F，于是SABOSAFO2(y1y2)y1y123，当且仅当y1，即y1时等号成立，所以ABO与AFO面积之和的最小值是3 类型4圆锥曲线中的定值、定点问题【例4】设椭圆E：y21(a1)的右焦点为F，右顶点为A，且，其中O为坐标原点，e为椭圆的离心率(1)求E的方程；(2)设过F且斜率不为零的直线l与E交于M，N两点，过M作直线m：xa2的垂线，垂足为M1，证明：直线M1N恒过一定点，并求出该定点的坐标解(1
11、)设椭圆E的半焦距为c，依题意得，即a22c2又a21c2，故a22，所以E的方程为y21(2)证明：由(1)得，F(1，0)，又直线l的斜率不为零，故可设l的方程为xty1，由得(t22)y22ty10设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又直线m为x2，所以M1(2，y1)，则y1y2，y1y2，所以y1y22ty1y2又直线M1N的方程为y(x2)y1，又x2ty21，所以2y1，所以M1N的方程为y2y1(x2)y1，即y2y1故直线M1N恒过定点(1)动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m，0).(2
12、)动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.跟进训练4已知抛物线C：y22px经过点P(1，2)过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值解(1)因为抛物线y22px过点(1，2)，所以2p4，即p2故抛物线C的方程为y24x由题意知，直线l的斜率存在且不为0设直线l的方程为ykx1(k0)由得k2x2(2k4)x10依题意(2k4)24k210，解得k0或0k1又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2)从而k3所以
13、直线l斜率的取值范围是(，3)(3，0)(0，1)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)知x1x2，x1x2直线PA的方程为y2(x1)令x0，得点M的纵坐标yM22同理得点N的纵坐标yN2由，得1yM，1yN所以2 所以为定值1椭圆1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点若|AB|8，则|AF1|BF1|的值为()A10B12C16D18B|AB|AF1|BF1|4a，|AF1|BF1|458122在抛物线y28x中，以(1，1)为中点的弦所在直线的方程是()Ax4y30Bx4y30C4xy30D4xy30C设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y
14、22A，B在抛物线上，y8x1，y8x2，两式相减得，(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，4，直线AB方程为y14(x1)，即4xy303已知双曲线C：x21，过点P(1，2)的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有()A1条B2条C3条D4条B因为双曲线的渐近线方程为y2x，点P在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(1，0)，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条，过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条4若直线xy2与抛物线y24x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是_(4，2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛
15、物线得方程组整理得x28x40，所以x1x28，y1y2x1x244，所以中点坐标为(4，2)5已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，直线l：yexa与x轴、y轴分别交于点A，B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设|AM|e|AB|，则该椭圆的离心率e_由于直线l：yexa与x轴、y轴分别交于点A，B，所以A，B(0，a)由消去y，得x22cxc20，所以M(c，aec)由|AM|e|AB|，可知e，即e，所以aecae，即1e2e，解得e或(舍去)回顾本节知识，自我完成以下问题：1解决直线与圆锥曲线位置关系时需要注意什么问题？提示解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主
16、要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和曲线有一个公共点并不一定相切2如何处理与弦中点有关的问题？提示(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系3如何求解圆锥曲线中的定值、定点问题？提示(1)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略求代数式为定值依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简即可得出定值求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得(2)圆锥曲线中定点问题的两种解法引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关
