1、广东省深圳市高级中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知，且，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由集合确定a值，然后取交集即可.【详解】，且；故选：C【点睛】本题考查集合的交集并集的运算，属于简单题.2.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性和奇偶性对选项逐个进行判断即可.【详解】解：由题意，可知：对于A：很明显是偶函数，所以排除A；对于B：在其定
2、义域内是减函数，所以排除B；对于C：不是奇函数，所以排除C；对于D：，由幂函数的性质可知是增函数，是奇函数故选：D【点睛】本题考查基本初等函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.3.是第三象限角，且，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据和角的范围求得，然后由可得答案.【详解】因为是第三象限角，且，所以，所以故选：B【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系和商数关系，易错点是忽略角的范围造成函数值符号错误.4.已知向量的夹角为60，且，则（）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由向量的模长公式和数量积公式求解即可得到答案.【详解】根据已知条件，；故选：D【点睛
3、】本题考查向量的模以及向量数量积的运算法则，向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.5.在中，角所对的边分别为己知，则（ ）A. 45或135B. 135C. 45D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】由的度数求出的值，再利用正弦定理求出的值，由小于，得到小于，即可求出的度数【详解】解：，由正弦定理得：，则故选：C【点睛】本题主要考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题。6.在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列性质，利用倒序相加法求得所求
4、表达式的值.【详解】令，倒过来写，两式相加得，故，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，即，考查倒序相加法，属于基础题.7.若则一定有（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】本题主要考查不等关系。已知,所以，所以，故。故选8.在等比数列中，若，前四项的和，则（）A. 1B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的基本量表示出已知条件可得到首项和公比，然后利用通项公式可得答案.【详解】根据题意，设等比数列的公比为，若，即，若其前四项的和，则有，解可得，又由，则，则；故选：A【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.9.
5、已知函数在上是增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】若函数f（x）=log2（x2ax+3a）在2，+）上是增函数，则x2ax+3a0且f（2）0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围【详解】若函数f（x）=log2（x2ax+3a）在2，+）上是增函数，则当x2，+）时，x2ax+3a0且函数f（x）=x2ax+3a为增函数即，f（2）=4+a0解得4a4故选：C【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a的不等式，是解答本题的关键10.圆锥的
6、高和底面半径之比，且圆锥的体积，则圆锥的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆锥的体积求出底面圆的半径和高,求出母线长，即可计算圆锥的表面积【详解】圆锥的高和底面半径之比，又圆锥的体积，即，解得；，母线长为，则圆锥的表面积为故选：D【点睛】本题考查圆锥的体积和表面积公式，考查计算能力，属于基础题.11.函数的图象大致为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由函数的解析式 ，当时,是函数的一个零点,属于排除A,B,当x(0,1)时，cosx0，,函数f(x) 0，函数图象在x轴下方，排除D.本题选择C选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的
7、定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项12.设，则的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用1的代换化成，然后展开利用基本不等式求解即可.【详解】，（当且仅当时取等号），故当时，的最小值为故选：D【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查“1”的代换和计算能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.在等比数列中，则 _【答案】1【解析】【分析】由等比数列的性质可得，结合通项公式可得
8、公比q,从而可得首项.【详解】根据题意，等比数列中，其公比，则，解可得，又由，则有，则，则；故答案为：1【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等比数列性质（其中m+n=p+q）的应用，也可以利用等比数列的基本量来解决.14.已知，则_【答案】【解析】【分析】分子分母同时除以，把目标式转为表达式，代入可求.【详解】，则故答案为：【点睛】本题考查三角函数的化简求值，常用方法：(1)弦切互化法:主要利用公式, 形如等类型可进行弦化切；（2）“1”的灵活代换和的关系进行变形、转化.15.如图，正方体的棱长为1，为中点，连接，则异面直线和所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】连接CD1，CM，由四边
9、形A1BCD1为平行四边形得A1BCD1，即CD1M为异面直线A1B和D1M所成角，再由已知求CD1M的三边长，由余弦定理求解即可【详解】如图，连接，由，可得四边形为平行四边形，则，为异面直线和所成角，由正方体的棱长为1，为中点，得，在中，由余弦定理可得，异面直线和所成角的余弦值为故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，异面直线所成的角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的；或者建立坐标系，通过求直线的方向向量得到直线夹角或其补角.16.在中，角所对的边分别是，是的中点，面积的最大值为_【答案】2【解析】试题分析：在ABM和ABC中分别使用余弦定理得出bc的
10、关系，求出cosA，sinA，代入面积公式求出最大值解：在ABM中，由余弦定理得：cosB=在ABC中，由余弦定理得：cosB=即b2+c2=4bc8cosA=，sinA=S=sinA=bc=当bc=8时，S取得最大值2故答案为2考点：余弦定理三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知，求及【答案】，【解析】【分析】先求得集合A和B,然后对集合A和集合B取交集和并集即可.【详解】，；，【点睛】本题考查集合的交集和并集运算，属于简单题.18.已知在中，角的对边分别为，（1）求角的值；（2）若，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得到角
11、C；（2）由余弦定理可得，再由正弦定理得sinA，由同角三角函数关系式即可得到tanA.【详解】（1），由正弦定理可得,，是三角形内角，（2）根据余弦定理根据正弦定理，所以所以【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查两角和差公式和同角三角函数关系式的应用，考查计算能力，属于基础题.19.北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0
12、.8万元（1）若学生宿舍建筑为层楼时，该楼房综合费用为万元，综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出的表达式；（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？【答案】（1）；（2）学校应把楼层建成层，此时平均综合费用为每平方米万元【解析】【分析】由已知求出第层楼房每平方米建筑费用为万元，得到第层楼房建筑费用，由楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高万元，然后利用等差数列前项和求建筑层楼时的综合费用；设楼房每平方米的平均综合费用为，则，然后利用基本不等式求最值【详解】解：由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为万元，且楼房每升高一层，整层楼每平方
13、米建筑费用提高万元，可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：万元建筑第1层楼房建筑费用为：万元楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：万元建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：；设该楼房每平方米的平均综合费用为，则：，当且仅当，即时，上式等号成立学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米万元【点睛】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了等差数列前n项和的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题20.已知（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；（2）若，求的值域【答案】（1）对称轴为，最小正周期；（2）【解析】【分析】(1)利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到，由周期公式和对
14、称轴公式可得答案；(2)由x的范围得到，由正弦函数的性质即可得到值域.【详解】（1）令，则的对称轴为，最小正周期；（2）当时，因为在单调递增，在单调递减，在取最大值，在取最小值，所以，所以【点睛】本题考查正弦函数图像的性质，考查周期性，对称性，函数值域的求法，考查二倍角公式以及辅助角公式的应用，属于基础题.21.已知等比数列的前项和为，公比，（1）求等比数列的通项公式；（2）设，求的前项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将已知两式作差，利用等比数列的通项公式，可得公比，由等比数列的求和可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得bnn，由裂项相消求和可得答案【详解】（1）等比数列的前项
15、和为，公比，得，则，又，所以，因为，所以，所以，所以；（2），所以前项和【点睛】裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和，还有一类隔一项的裂项求和，如或.22.已知函数的图象上有两点，函数满足，且（1）求证：；（2）求证：；（3）能否保证和中至少有一个为正数？请证明你的结论【答案】（1）见解析（2）见解析（3）能【解析】【分析】（1）由f（1）0，且abc，可判断a0，c0且bac，所以aacc，从而可证明；（2）由题可知f（m1）a或f（m2）a，即m1或m2是方程f（x）a的一个实根，即ax2+bx+c+a0有根，结合二次方程的实根存在条件即可证；（3）由f（x）0的两根中，其中一根为1，另一根为，结合二次方程的根的存在及二次函数的单调性可证【详解】（1）证明：，且，所以，因为，所以，所以，（2）因为所以或，即或是方程的一个实根，即有根，所以，因为，所以，即，即，因为，所以（3）设的两根为，显然其中一根为1，另一根为设，若，则所以，所以又函数在上是增函数，所以同理当时，所以中至少有一个是正数【点睛】本题主要考查二次方程的根的存在及二次不等式的求解，二次函数性质的综合应用，属于中档题.
