1、2016-2017学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上1已知全集U=1，2，3，4，5，M=3，4，5，N=2，3，则集合（UN）M=（）A2B1，3C2，5D4，52已知向量与不平行，且|=|0，则下列结论中正确的是（）A向量与垂直B向量与垂直C向量与垂直D向量与平行3已知函数f（x）=1g（1x）的值域为（，0），则函数f（x）的定义域为（）A0，+B（0，1）C9，+）D9，1）4如果ab，那么下列不等式中正确的是（）ABa2b2Clg（|a|+1）l
2、g（|b|+1）D2a2b5曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为（）ABC1D26若x，y满足且z=2x+y的最大值为4，则k的值为（）ABCD7设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t）处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的图象大致为（）ABCD8将函数y=sin（x+）（0，|的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为y=sinx，则y=sin（x+）图象上离y轴距离最近的对称中心为（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）9已知ABC外接圆的半径为2，圆心为O，且，则=（）A12B13C14D1510在实数集R
3、上定义一种运算“*”，对于任意给定的a、bR，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a、bR，a*b=b*a；（2）对任意a、bR，a*0=a；（3）对任意a、bR，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）2c关于函数f（x）=x*的性质，有如下说法：在（0，+）上函数f（x）的最小值为3；函数f（x）为奇函数；函数f（x）的单调递增区间为（，1），（1，+）其中所有正确说法的个数为（）A0B1C2D3二、填空题，本大题共5个小题，每小题5分，共25分11已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为12平面向量与的夹角为60，|=1， =
4、（3，0），|2+|13设函数f（x）=若f（a）a，则实数a的取值范围是14若cos（75a）=，则cos（30+2a）=15若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x1）=f（x+1）且当x1，0时，f（x）=x2+1，如果函数g（x）=f（x）a|x|恰有8个零点，则实数a的值为三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知函数f（x）=cos2x，g（x）=sinxcosx（1）若直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2a）的值；（2）若0x，求h（x）=f（x）+g（x）的值域17设ABC的内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若向
5、量=（ab，1）与向量=（ac，2）共线，且A=120（1）a：b：c；（2）若ABC外接圆的半径为14，求ABC的面积18如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区已知A=120，AB、AC的长度均大于200米设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值19已知函数f（x）=log（）满足f（2）=1，其中a为实常数（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）（）x+t在x2，3上恒成立，求实数t的取值范围20设函
6、数f（x）=xexae2x（aR）（I）当a时，求证：f（x）0（II）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围21已知函数f（x）=（2a）lnx+2ax（aR）（）当a=0时，求f（x）的极值；（）当a0时，求f（x）单调区间；（）若对任意a（3，2）及x1，x21，3，恒有（m+ln3）a2ln3|f（x1）f（x2）|成立，求实数m的取值范围2016-2017学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上1已知全集U=1，2，3，4，5
7、，M=3，4，5，N=2，3，则集合（UN）M=（）A2B1，3C2，5D4，5【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出N的补集，然后求解交集即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，N=2，3，则集合UN=1，4，5，M=3，4，5，集合（UN）M=4，5故选：D2已知向量与不平行，且|=|0，则下列结论中正确的是（）A向量与垂直B向量与垂直C向量与垂直D向量与平行【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量【分析】求出（）（）=0，从而得到与垂直【解答】解：向量与不平行，且|=|0，（）（）=|2|2=0，与垂直故选：A3已知函数f（x）=1g（1x）的值域为（，0），
8、则函数f（x）的定义域为（）A0，+B（0，1）C9，+）D9，1）【考点】函数的定义域及其求法【分析】由函数f（x）=1g（1x）的值域为（，0），则lg（1x）0，即有01x1，解得即可得到函数的定义域【解答】解：由函数f（x）=1g（1x）的值域为（，0），则lg（1x）0，01x1，解得，0x1则函数f（x）的定义域为：（0，1）故选：B4如果ab，那么下列不等式中正确的是（）ABa2b2Clg（|a|+1）lg（|b|+1）D2a2b【考点】不等式的基本性质【分析】通过取特殊值判断A、B、C，根据指数的性质判断D【解答】解：若ab，对于A：a=0，b=1，时，无意义，错误；对于B，C
9、：若a=1，b=2，不成立，错误；对于D：2a2b，正确；故选：D5曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为（）ABC1D2【考点】定积分在求面积中的应用【分析】先求出曲线y=x3与y=x的交点坐标，得到积分的上下限，然后利用定积分求出第一象限所围成的图形的面积，根据图象的对称性可求出第三象限的面积，从而求出所求【解答】解：曲线y=x3与y=x的交点坐标为（0，0），（1，1），（1，1）曲线y=x3与直线y=x在第一象限所围成的图形的面积是=根据y=x3与y=x都是奇函数，关于原点对称，在第三象限的面积与第一象限的面积相等曲线y=x3与y=x所围成的图形的面积为故选B6若x，y满足且z=2
10、x+y的最大值为4，则k的值为（）ABCD【考点】简单线性规划【分析】根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，求出求出直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），即可求解k值【解答】解：先作出不等式组对应的平面区域，直线kxy+3=0过定点（0，3），z=2x+y的最大值为4，作出直线2x+y=4，由图象知直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），同时B也在直线kxy+3=0上，代入直线得2k+3=0，即k=，故选：A7设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t）处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【分析
11、】由已知可得k=g（t）=f（x）=xcosx，分析函数的奇偶性及x（0，）时，函数图象的位置，利用排除法，可得答案【解答】解：函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t）处切线的斜率为k，k=g（t）=f（x）=sinx+xcosxsinx=xcosx，函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，C，当x（0，）时，函数值为正，图象位于第一象限，排除D，故选：A8将函数y=sin（x+）（0，|的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为y=sinx，则y=sin（x+）图象上离y轴距离最近的对称中心为（）A（，0）B（，0）C（，
12、0）D（，0）【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】函数y=sin（x+）（0，|的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（x+）+的图象；再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x+）的图象；由解析式相同求出、的值，然后根据正弦函数的对称中心求出函数y=sin（x+）的对称中心，进而求出离y轴距离最近的对称中心【解答】解：将函数y=sin（x+）（0，|的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（x+）+的图象；再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x+）的图象；函数y=sin（x+）的图象与函数y=sinx
13、的图象相同，=0解得：=2，=y=sin（x+）=sin（2x）由2x=k得2x=k（kZ）当k=1时，x=离y轴距离最近的对称中心为（，0）故选C9已知ABC外接圆的半径为2，圆心为O，且，则=（）A12B13C14D15【考点】平面向量数量积的运算【分析】由条件便可得出ABAC，O为斜边的中点，再根据，即可得出，进而得出的值，从而求出的值【解答】解：根据条件，ABAC，O为BC中点，如图所示：；ABO为等边三角形，；故选A10在实数集R上定义一种运算“*”，对于任意给定的a、bR，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a、bR，a*b=b*a；（2）对任意a、bR，a*0=a；（
14、3）对任意a、bR，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）2c关于函数f（x）=x*的性质，有如下说法：在（0，+）上函数f（x）的最小值为3；函数f（x）为奇函数；函数f（x）的单调递增区间为（，1），（1，+）其中所有正确说法的个数为（）A0B1C2D3【考点】抽象函数及其应用【分析】根据条件在中令c=0得到a*b=ab+a+b从而得到f（x）的表达式，结合函数的奇偶性，单调性和最值的性质分别进行判断即可【解答】解：由新运算“*”的定义令c=0，则（a*b）*0=0*（ab）+（a*0）+（0*b）=ab+a+b，即a*b=ab+a+bf（x）=x*=1+x+，当x0时，f（
15、x）=x*=1+x+1+2=1+2=3，当且仅当x=，即x=1时取等号，在（0，+）上函数f（x）的最小值为3；故正确，函数的定义域为（，0）（0，+），f（1）=1+1+1=3，f（1）=111=1，f（1）f（1）且f（1）f（1），则函数f（x）为非奇非偶函数，故错误，函数的f（x）=1，令f（x）=0则x=1，当x（，1）或（1，+）时，f（x）0函数f（x）的单调递增区间为（，1）、（1，+）故正确；故正确的是，故选：C二、填空题，本大题共5个小题，每小题5分，共25分11已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为a3或a6【考点】函数在某点取得极
16、值的条件【分析】先求出函数的导数，根据函数有极大值和极小值，可知导数为0的方程有两个不相等的实数根，通过0，即可求出a的范围【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以函数f（x）=3x2+2ax+（a+6），因为函数有极大值和极小值，所以方程f（x）=0有两个不相等的实数根，即3x2+2ax+（a+6）=0有两个不相等的实数根，0，（2a）243（a+6）0，解得：a3或a6故答案为：a3或a612平面向量与的夹角为60，|=1， =（3，0），|2+|=【考点】平面向量数量积的运算【分析】由条件可以得到，从而进行数量积的运算便可求出的值，从而便可得出的值【解答】解：根据条
17、件，；故答案为：13设函数f（x）=若f（a）a，则实数a的取值范围是（，1）【考点】其他不等式的解法【分析】先根据分段函数的定义域选择好解析式，分a0时，和a0时两种情况求解，最后取并集【解答】解：当a0时，解得a2，矛盾，无解当a0时，a1综上：a1实数a的取值范围是（，1）故答案为：（，1）14若cos（75a）=，则cos（30+2a）=【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数的化简求值【分析】由条件利用诱导公式，求出sin（15）的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos（302）的值【解答】解：cos（75）=sin（15+）=，则cos（30+2）=12sin2（15+）=12=故答案
18、为：15若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x1）=f（x+1）且当x1，0时，f（x）=x2+1，如果函数g（x）=f（x）a|x|恰有8个零点，则实数a的值为82【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由函数f（x）满足f（x+1）=f（x），变形得到函数的周期，由周期性即可求得函数在某一段上的解析式，代入进行计算即可得出答案【解答】解：由f（x+1）=f（x1），则f（x）=f（x2），故函数f（x）为周期为2的周期函数函数g（x）=f（x）a|x|恰有8个零点，f（x）a|x|=0在（，0）上有四个解，即f（x）的图象（图中黑色部分）与直线y=a|x|（图中红色直线）在（，0）上有4个
19、交点，如图所示：又当x1，0时，f（x）=x2+1，当直线y=ax与y=（x+4）2+1相切时，即可在（，0）上有4个交点，x2+（8a）x+15=0，=（8a）260=0a0，a=82故答案为：82三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知函数f（x）=cos2x，g（x）=sinxcosx（1）若直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2a）的值；（2）若0x，求h（x）=f（x）+g（x）的值域【考点】三角函数的最值【分析】（1）利用二倍角公式化简函数的表达式，通过直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求出a，然后求g（2
20、a）的值；（2）化简h（x）=f（x）+g（x）为正弦函数类型，利用角的范围求出相位的范围，然后去函数值域【解答】解：（1），其对称轴为，因为直线线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，所以，又因为，所以即（2）由（1）得=，所以h（x）的值域为17设ABC的内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若向量=（ab，1）与向量=（ac，2）共线，且A=120（1）a：b：c；（2）若ABC外接圆的半径为14，求ABC的面积【考点】正弦定理【分析】（1）利用向量共线的性质可得2b=a+c，设a=bd，c=b+d，由余弦定理解得d=，进而可得a=，c=，从而可求a：b：c（2）由正弦定理可求a
21、，由（1）可求b，c的值，利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（1）向量与向量共线，可得：，2b=a+c，设a=bd，c=b+d，由已知，cosA=，即=，d=，从而a=，c=，a：b：c=7：5：3（2）由正弦定理=2R，得a=2RsinA=214=14，由（1）设a=7k，即k=2，所以b=5k=10，c=2k=6，所以SABC=bcsinA=106=45，所以ABC的面积为4518如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区已知A=120，AB、AC的长度均大于200米设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米（1）当x，y为何值时？游客体验活动
22、区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由已知利用三角形面积公式，基本不等式可得，即可得解（2）利用已知及余弦定理可得PQ2=x2+y22xycos120=（x100）2+30000，根据二次函数的图象和性质即可解得线段|PQ|最小值【解答】（本题满分为14分）解：（1）因为：AP=x，AQ=y且x+y=200，2分所以：4分当且仅当x=y=100时，等号成立所以：当x=y=100米时，平方米 6分（2）因为：PQ2=x2+y22xycos120=x2+y2+xy8分=x2+2+x=x2200x+40000=
23、（x100）2+3000010分所以：当x=100米，线段米，此时，y=100米12分答：（1）当AP=AQ=100米时，游客体验活动区APQ的面积最大为平方米（2）当AP=AQ=100米时，线段|PQ|最小为14分19已知函数f（x）=log（）满足f（2）=1，其中a为实常数（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）（）x+t在x2，3上恒成立，求实数t的取值范围【考点】函数恒成立问题【分析】（1）根据f（2）=1，构造方程，可得a的值，结合奇偶性的宝义，可判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）（）x+t在x2，3上恒成立，则tlog（）（）x在x2，3上
24、恒成立，构造函数求出最值，可得答案【解答】解：（1）函数f（x）=log（）满足f（2）=1，log（）=1，=，解得：a=1，f（x）=log（）的定义域（，1）（1，+）关于原点对称；又f（x）=log（）=log（）=log（）=f（x），故函数f（x）为奇函数；（2）若不等式f（x）（）x+t在x2，3上恒成立，则tlog（）（）x在x2，3上恒成立，设g（x）=log（）（）x，则g（x）在2，3上是增函数g（x）t对x2，3恒成立，tg（2）=20设函数f（x）=xexae2x（aR）（I）当a时，求证：f（x）0（II）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围【考点】利用导
25、数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）利用分析法，构造函数g（x）=xaex，利用导数和函数的最值的关系即可求出，（）函数f（x）有两个极值点，等价于y=f（x）有两个变号零点，即方程有两个不相同的根，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决【解答】解：（ I）证明：f（x）=xexae2x=ex（xaex）ex0，只需证：当即可，g（x）=xaex，g（x）=1aex=0，当从而当时，f（x）0（ II）f（x）=（x+1）ex2ae2x=ex（x+12aex）函数f（x）有两个极值点，等价于y=f（x）有两个变号零点即方程有两个不相同的根设，x（，0），h（x）0
26、，h（x）递增；x（0，+），h（x）0，h（x）递减，h（x）max=h（0）=1，h（1）=0，x1，h（x）0，x+，h（x）0，x，h（x）当有两个交点方程有两个不相同的根，函数f（x）有两个极值点21已知函数f（x）=（2a）lnx+2ax（aR）（）当a=0时，求f（x）的极值；（）当a0时，求f（x）单调区间；（）若对任意a（3，2）及x1，x21，3，恒有（m+ln3）a2ln3|f（x1）f（x2）|成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，
27、令f（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（）当a0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（）若对任意a（3，2）及x1，x21，3，恒有（m+ln3）a2ln3|f（x1）f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围【解答】解：（）依题意知f（x）的定义域为（0，+），当a=0时，f（x）=2lnx+，f（x）=，令f（x）=0，解得x=，当0x时，f（x）0；当x时，f（x）0又f（）=2ln2f（x）的极小值为22ln2，无极大值（）f（x）=+2a=当a2时，令f（x）0 得 0x或x，令f（x）0 得
28、x；当2a0时，得，令f（x）0 得 0x或x，令f（x）0 得x；当a=2时，f（x）=0，综上所述，当a2时f（x），的递减区间为（0，）和（，+），递增区间为（，）；当a=2时，f（x）在（0，+）单调递减；当2a0时，f（x）的递减区间为（0，）和（，+），递增区间为（，）（）由（）可知，当a（3，2）时，f（x）在区间1，3上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）f（x2）|f（1）f（3）=（1+2a）（2a）ln3+6a=4a+（a2）ln3，（m+ln3）aln3|f（x1）f（x2）|恒成立，（m+ln3）a2ln34a+（a2）ln3整理得ma4a，a0，m4恒成立，3a2，4，m2016年12月20日
