1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.1.2函数的单调性第1课时单调性的定义与证明学 习 任 务核 心 素 养1理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性(重点)2会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间(重点、难点)3理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值(重点、难点)1借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养2利用求单调区间、最值、培养数学运算素养3利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养.德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究他经过测试，
2、得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后89小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y (百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图问题(1)当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？知识点一函数单调性的概念1增函数与减函数的定义条件一般地，设函数yf(x)的定义域为D，且ID：如果对任意x1，x2I，当x1
3、x2时都有f(x1)f(x2)都有f(x1)f(x2)结论yf(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)yf(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)图示1增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？提示定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1x2；(3)属于同一个单调区间(1)自变量的大小与函数值的大小关系：单调递增：x1x2f(x1)f(x2)，x1x2f(x1)f(x2)单调递减：x1x2f(x1)f(x2)，x1x2f(x1)f(x2)即可以利用单调递增、单调递减的定义，实现自变量的
4、大小关系与函数值的大小关系的直接转化(2)若f(x)在区间I上为增(减)函数，则函数f(x)的图像在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降)1(1)如果(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调递增区间，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)D不能确定(2)下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()Ay|x|2By3xCyDyx24(1)D(2)A(1)根据函数单调性的定义可知，所取的两个自变量的值必须在同一单调区间内才能由函数的单调性比较其函数值的大小，故选D(2)因为10，所以一次函数yx3在
5、R上递减，反比例函数y在(0，)上递减，二次函数yx24在(0，)上递减故选A2函数的单调性与单调区间如果函数yf(x)在I上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)2.函数y在定义域上是减函数吗？提示不是y在(，0)上递减，在(0，)上也递减，但不能说y在(，0)(0，)上递减2.已知四个函数的图像如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是()ABCDB由单调性定义知只有B选项是单调函数知识点二函数的最值最大值最小值条件一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0D；如果对任意xD都有f(x)f(x
6、0)都有f(x)f(x0)结论则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点统称最大值和最小值统称为最值最大值点和最小值点统称为最值点3.函数yf(x)在2,2上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A1,0B0,2C1,2D，2C由题图可知，f(x)的最大值为f(1)2，f(x)的最小值为f(2)1故选C 类型1定义法证明(判断)函数的单调性【例1】证明：函数f(x)x在(0,1)上是减函数思路点拨证明设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2
7、)(x1x2)，0x2x11，x1x20,0x1x21，则1x1x2x21，则y1y2.x1x21，x1x20，x110，x210，0，即y1y20，y1y2，y在(1，)上是增函数 类型2求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数(1)f(x)；(2)f(x)(3)f(x)x22|x|3.解(1)函数f(x)的单调区间为(，0)，(0，)，其在(，0)，(0，)上都是增函数(2)当x1时，f(x)是增函数，当xf(b)，则a，b满足什么关系如果函数f(x)是减函数呢？提示若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)f(b)时，ab；若函数
8、f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)f(b)时，af(5x6)，则实数x的取值范围为_思路点拨(1)(2)(1)(，4(2)(，1)(1)f(x)x22(a1)x3的图像开口向下，要使f(x)在(，3上是增函数，只需(a1)3，即a4.实数a的取值范围为(，4(2)f(x)在(，)上是增函数，且f(2x3)f(5x6)，2x35x6，即x.x的取值范围为.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围(2)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的 类型4
9、求函数的最值(值域)【例4】已知函数f(x).(1)判断函数在区间(1，)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间2,4上的最大值和最小值解(1)f(x)在(1，)上为增函数，证明如下：任取1x1x2，则f(x1)f(x2)，因为1x10，x210，x1x20，所以f(x1)f(x2)0f(x1)0B0Cf(x1)f(x2)f(x2)B因为函数f(x)在(1,2)内单调递减，所以若x10，所以x1x2与f(x1)f(x2)异号，所以0.4函数f(x)x23|x|2的单调递减区间是_，去绝对值，得函数f(x)作出其图像(图略)，可得函数的单调递减区间为，.5已知yx22(a1)x5
10、在区间(1，)上是增函数，则a的取值范围是_(，2已知yx22(a1)x5在区间(1，)上是增函数，则函数对称轴xa11，解得a2.回顾本节知识，自我完成以下问题：1对函数的单调性的定义，你是怎样理解的？提示单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此对x1，x2有下列要求：(1)属于同一个区间I；(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间I上的任意两个值，不能用特殊值代替；(3)区分大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1x2.2是否所有函数都具有单调性？提示有的函数不具有单调性如函数y它的定义域是(，)，但无单调性可言；又如函数yx21，x0,1,2，它的定义域不是区间，
11、也就不能说它在定义域上具有单调性3函数出现两个或两个以上的单调区间时，如何书写？提示一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”或逗号连接如函数y在(，0)和(0，)上单调递减，不能表述为函数y在(，0)(0，)上单调递减4函数的最值和值域有什么联系与区别？提示(1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域(2)区别：函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素，例如，函数f(x)x2对任意的xR，都有f(x)1，但是f(x)的最小值不是1，因为1不在f(x)的值域内；(3)若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值- 12 - 版权所有高考资源网
