1、课题 椭圆及其标准方程罐车的横截面一.数 学实 验 1取一条细绳，2把它的两端固定在板上的两点F1、F2 3用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形F1F2M观察做图过程：1绳长应当大于F1、F2之间的距离。2由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数2a 的点的轨迹.(1)焦点：定点 F1，F2二.椭圆的定义：当2a=|F1 F2|时线段当2a0)(3)ac在平面内动点M到两个定点F1 ，F2的距离之和等于或小于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？思考：（2a|F1 F2|）F1F2M1F2FxyO),(yxM1F2F
2、xyO),(yxM取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1、F2的距离的和等于2a，则F1(-c,0)、F2(c,0)。由定义知：aMFMF221()()222221ycxMFycxMF-()()aycxycx22222-将方程移项后平方得：()()()222222244ycxycxaaycx-()222ycxacxa-两边再平方得：2222222222422yacacxaxaxccxaa-()()22222222caayaxca-()()22222222caayaxca-由椭圆定义知：0,
3、2222-cacaca即():0222得令-bbca222222bayaxb()012222babyax两边同除以得：22ba这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上。如果椭圆的焦点在y轴上，用类似的方法，可得出它的方程为：()012222babxay它也是椭圆的标准方程。1F2FxyO),(yxMM2.焦点在Y轴上的椭圆的标准方程:1.焦点在X轴上的椭圆的标准方程:2222byax(ab0)2222bxay(ab0)4.由椭圆的标准方程,判断焦点位置的方法是:若含x2项的分母大于含y2项的分母,则焦点在X轴上,反之,则在Y轴上.三、椭圆的标准方程：F1F2(o,c)(0,-c
4、)OXY3.无论哪种标准方程,都有:ab0,ac0,b2=a2-c2.F1(-c,0)F2(c,0)注意：（1）、在两种方程中，总有0 ba（2）、有关系式：cba,最大即acbabac,222222-（3）、在的分母下，焦点在x轴上；在的分母下，焦点在y轴上。2a2y2a2x例1判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标1162522 yx答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）116914422 yx答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5）112222mymx答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。四例题讲解：例2
5、.平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离和是10的点的轨迹的方程。解：所求的轨迹是椭圆，两个定点是焦点，用F1，F2 表示，则2a=10,2c=8,因为 b2=a2-c2=9故所求的轨迹方程为：9x25y22另一种情况是：注意：只有一解。F2F1YXO取过F1，F2 的直线为X轴，线段F1，F2的垂直平分线为Y轴，建立直角坐标系。五、课堂练习 1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4,b=1,焦点在x轴上；（2）a=4,c=,焦点在y轴上；（3）a+b=10,c=1552111622 yx111622 xy1163622 yxx轴时：当焦点在1163622 xyy轴时：当焦
6、点在2、已知F1,F2是椭圆的两个焦点，AB是过F1的弦，则三角形ABF2的周长是_.1162522 yx201F2FxyOA1F2FxyOABaAFAF221由椭圆定义可知：aBFBF2215252aa则由方程可知：六.课堂总结：1、椭圆的定义2、椭圆的标准方程平面内点M与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（记|MF1|+|MF2|=2a）的点M的轨迹是：（1）当|MF1|+|MF2|F1F2|时点M的轨迹是为_；（2）当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时点的轨迹为_;.（3）当|MF1|+|MF2|F1F2|时点M的轨迹_。-X型)0ba(,1byax2222)0ba(,1bxay2222-Y 型椭圆线段F1F2不存在
