1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 等差数列及其前n项和 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差_，那么这个数列就为等差数列，这个常数为等差数列的_，公差通常用字母d表示.数学语言表达式：an1and(nN，d为常数)，或anan1d(n2，d为常数).同一个常数公差(2)如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使
2、a，A，b 成_，那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项，即 Aab2.等差数列基础诊断考点突破课堂总结2.等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an_.通项公式的推广：anam_(m，nN*).(2)等差数列的前 n 项和公式Snn（a1an）2_(其中 nN*，a1 为首项，d 为公差，an 为第 n 项).a1(n1)d(nm)dna1n（n1）2d基础诊断考点突破课堂总结3.等差数列的有关性质 已知数列an是等差数列，Sn是an的前n项和.(1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则有amanapaq.(2)等差数列an的单调
3、性：当d0时，an是_数列；当d0时，an是_数列；当d0时，an是_.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为_的等差数列.(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列.递增递减常数列md基础诊断考点突破课堂总结4.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Snd2n2a1d2 n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B 为常数).5.等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_值；若a10，d0，则Sn存在最_值.大小基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)
4、数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(3)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列.()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()基础诊断考点突破课堂总结解析(4)若公差d0，则通项公式不是n的一次函数.(5)若公差d0，则前n项和不是二次函数.答案(1)(2)(3)(4)(5)基础诊断考点突破课堂总结2.(2015重庆卷)在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于()A.1B.0C.1D
5、.6 解析 由等差数列的性质，得a62a4a22240，选B.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结3.(2017长沙模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，若S32a3，S515，则a2 016_.解析 在等差数列an中，由S32a3知，3a22a3，而S515，则a33，于是a22，从而其公差为1，首项为1，因此ann，故a2 0162 016.答案 2 016基础诊断考点突破课堂总结4.在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_.解析 由题意知 d0 且a80，a90，即77d0，78d0，解得1d78.答案 1，78基础诊断考点突破课
6、堂总结5.(教材改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.解析 由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.答案 180 基础诊断考点突破课堂总结考点一 等差数列基本量的运算【例1】(1)(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A.100B.99C.98D.97(2)(2017西安模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，S36，S412，则S6_.解析(1)设等差数列an的公差为 d，由已知，得9a136d27，a19d8，所以a11，d1，所以 a100a199d19998.基础诊断考点突破
7、课堂总结(2)法一 设数列an的首项为 a1，公差为 d，由 S36，S412，可得S33a13d6，S44a16d12，解得a10，d2，即 S66a115d30.法二 由an为等差数列，故可设前 n 项和 SnAn2Bn，由 S36，S412 可得S39A3B6，S416A4B12，解得A1，B1，即 Snn2n，则 S636630.答案(1)C(2)30 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是
8、等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(2015全国卷)已知an是公差为 1 的等差数列，Sn 为an的前 n 项和.若 S84S4，则 a10 等于()A.172B.192C.10 D.12解析 由 S84S4，得 8a1872 144a1432 1，解得 a112，a10a19d192，故选 B.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结考点二 等差数列的判定与证明(典例迁移)【例 2】(经典母题)若数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，a112.(1)求证：1Sn 成等差数列；(2)求数列an的通项公式.(1)证明
9、 当 n2 时，由 an2SnSn10，得 SnSn12SnSn1，所以 1Sn 1Sn12，又 1S1 1a12，故1Sn 是首项为 2，公差为 2 的等差数列.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 由(1)可得 1Sn2n，Sn 12n.当 n2 时，anSnSn1 12n12（n1）n1n2n（n1）12n（n1）.当 n1 时，a112不适合上式.故 an12，n1，12n（n1），n2.基础诊断考点突破课堂总结【迁移探究 1】将本例条件“an2SnSn10(n2)，a112”改为“Sn(Snan)2an0(n2)，a12”，问题不变，试求解.(1)证明 当 n2 时，anSnSn1 且
10、Sn(Snan)2an0.SnSn(SnSn1)2(SnSn1)0，即 SnSn12(SnSn1)0.即 1Sn 1Sn112.又 1S1 1a112.故数列1Sn 是以首项为12，公差为12的等差数列.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 由(1)知 1Snn2，Sn2n，当 n2 时，anSnSn12n（n1）当 n1 时，a12 不适合上式，故 an2，n1，2n（n1），n2.基础诊断考点突破课堂总结【迁移探究 2】已知数列an满足 2an1anan11(n2)，a12，证明数列1an1 是等差数列，并求数列an的通项公式.解 当 n2 时，an2 1an1，1an1 1an11 12 1
11、an111an11 11 1an11an11 an1an111an11an11an111(常数).又1a111.基础诊断考点突破课堂总结数列1an1 是以首项为 1，公差为 1 的等差数列.1an11(n1)1，ann1n.规律方法 等差数列的四种判断方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数.(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立.(3)通项公式法：验证anpnq.(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断.基础诊断考点突破课堂总结考点三 等差数列的性质及应
12、用【例3】(1)(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A.5B.7C.9D.11(2)(2016南昌统考)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A.63B.45C.36D.27(3)已知 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若 a12 014，S2 0142 014S2 0082 0086，则 S2 017_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)an为等差数列，a1a52a3，得 3a33，则 a31，S55（a1a5）25a35，故选 A.(2)由an是等差数列，得 S3，S6S3，S9S6 为等差数列.即 2(S6S
13、3)S3(S9S6)，得到 S9S62S63S345，故选 B.(3)由等差数列的性质可得Snn 也为等差数列.设其公差为 d.则S2 0142 014S2 0082 0086d6，d1.故S2 0172 017S11 2 016d2 0142 0162，S2 01722 0174 034.答案(1)A(2)B(3)4 034 基础诊断考点突破课堂总结规律方法 等差数列的性质是解题的重要工具.(1)在等差数列an中，数列 Sm，S2mSm，S3mS2m 也成等差数列.(2)在等差数列an中，数列Snn 也成等差数列.基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3
14、项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.10(2)(2015广东卷)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.解析(1)因为 a1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1an34146180，又因为 a1ana2an1a3an2，所以 3(a1an)180，从而 a1an60，所以 Snn（a1an）2n602390，即 n13.基础诊断考点突破课堂总结(2)因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.答案(1)A(2)10 基础诊断
15、考点突破课堂总结考点四 等差数列前n项和及其最值【例4】(1)(2017衡水月考)等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A.5B.6C.7D.8(2)设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.解析(1)法一 由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a85时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20100130.答案(1)C(2)130基础诊断考点突破课堂总结规律方法 求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(
16、1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.基础诊断考点突破课堂总结【训练 4】(2017长春质量检测)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a10 且a6a5 911，则当 Sn 取最大值时，n 的值为()A.9B.10C.11 D.12解析 由a6a5 911，得 S11S9，即 a10a110，根据首项 a10 可推知这个数列递减，从而 a100，a110，故 n10 时，Sn 最大.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结思想方法 1.在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.2.证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n项和公式法判定一个数列是否为等差数列.3.等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an1and(n2)时，应注意验证a2a1是否等于d，若a2a1d，则数列an不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.
