1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 等差数列及其前n项和 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.理解等差数列的概念;2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式;3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题;4.了解等差数列与一次函数的关系.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差_,那么这个数列就为等差数列,这个常数为等差数列的_,公差通常用字母d表示.数学语言表达式:an1and(nN,d为常数),或anan1d(n2,d为常数).同一个常数公差(2)如果在 a 与 b 中间插入一个数 A,使
2、a,A,b 成_,那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项,即 Aab2.等差数列基础诊断考点突破课堂总结2.等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列an的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 an_.通项公式的推广:anam_(m,nN*).(2)等差数列的前 n 项和公式Snn(a1an)2_(其中 nN*,a1 为首项,d 为公差,an 为第 n 项).a1(n1)d(nm)dna1n(n1)2d基础诊断考点突破课堂总结3.等差数列的有关性质 已知数列an是等差数列,Sn是an的前n项和.(1)若mnpq(m,n,p,qN*),则有amanapaq.(2)等差数列an的单调
3、性:当d0时,an是_数列;当d0时,an是_数列;当d0时,an是_.(3)若an是等差数列,公差为d,则ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差为_的等差数列.(4)数列Sm,S2mSm,S3mS2m,也是等差数列.递增递减常数列md基础诊断考点突破课堂总结4.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Snd2n2a1d2 n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A,B 为常数).5.等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中,a10,d0,则Sn存在最_值;若a10,d0,则Sn存在最_值.大小基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)
4、数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an1anan2.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(3)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列.()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()基础诊断考点突破课堂总结解析(4)若公差d0,则通项公式不是n的一次函数.(5)若公差d0,则前n项和不是二次函数.答案(1)(2)(3)(4)(5)基础诊断考点突破课堂总结2.(2015重庆卷)在等差数列an中,若a24,a42,则a6等于()A.1B.0C.1D
5、.6 解析 由等差数列的性质,得a62a4a22240,选B.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结3.(2017长沙模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,若S32a3,S515,则a2 016_.解析 在等差数列an中,由S32a3知,3a22a3,而S515,则a33,于是a22,从而其公差为1,首项为1,因此ann,故a2 0162 016.答案 2 016基础诊断考点突破课堂总结4.在等差数列an中,a17,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n8时Sn取得最大值,则d的取值范围为_.解析 由题意知 d0 且a80,a90,即77d0,78d0,解得1d78.答案 1,78基础诊断考点突破课
6、堂总结5.(教材改编)在等差数列an中,若a3a4a5a6a7450,则a2a8_.解析 由等差数列的性质,得a3a4a5a6a75a5450,a590,a2a82a5180.答案 180 基础诊断考点突破课堂总结考点一 等差数列基本量的运算【例1】(1)(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27,a108,则a100()A.100B.99C.98D.97(2)(2017西安模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,S36,S412,则S6_.解析(1)设等差数列an的公差为 d,由已知,得9a136d27,a19d8,所以a11,d1,所以 a100a199d19998.基础诊断考点突破
7、课堂总结(2)法一 设数列an的首项为 a1,公差为 d,由 S36,S412,可得S33a13d6,S44a16d12,解得a10,d2,即 S66a115d30.法二 由an为等差数列,故可设前 n 项和 SnAn2Bn,由 S36,S412 可得S39A3B6,S416A4B12,解得A1,B1,即 Snn2n,则 S636630.答案(1)C(2)30 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是
8、等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(2015全国卷)已知an是公差为 1 的等差数列,Sn 为an的前 n 项和.若 S84S4,则 a10 等于()A.172B.192C.10 D.12解析 由 S84S4,得 8a1872 144a1432 1,解得 a112,a10a19d192,故选 B.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结考点二 等差数列的判定与证明(典例迁移)【例 2】(经典母题)若数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 an2SnSn10(n2),a112.(1)求证:1Sn 成等差数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明
9、 当 n2 时,由 an2SnSn10,得 SnSn12SnSn1,所以 1Sn 1Sn12,又 1S1 1a12,故1Sn 是首项为 2,公差为 2 的等差数列.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 由(1)可得 1Sn2n,Sn 12n.当 n2 时,anSnSn1 12n12(n1)n1n2n(n1)12n(n1).当 n1 时,a112不适合上式.故 an12,n1,12n(n1),n2.基础诊断考点突破课堂总结【迁移探究 1】将本例条件“an2SnSn10(n2),a112”改为“Sn(Snan)2an0(n2),a12”,问题不变,试求解.(1)证明 当 n2 时,anSnSn1 且
10、Sn(Snan)2an0.SnSn(SnSn1)2(SnSn1)0,即 SnSn12(SnSn1)0.即 1Sn 1Sn112.又 1S1 1a112.故数列1Sn 是以首项为12,公差为12的等差数列.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 由(1)知 1Snn2,Sn2n,当 n2 时,anSnSn12n(n1)当 n1 时,a12 不适合上式,故 an2,n1,2n(n1),n2.基础诊断考点突破课堂总结【迁移探究 2】已知数列an满足 2an1anan11(n2),a12,证明数列1an1 是等差数列,并求数列an的通项公式.解 当 n2 时,an2 1an1,1an1 1an11 12 1
11、an111an11 11 1an11an11 an1an111an11an11an111(常数).又1a111.基础诊断考点突破课堂总结数列1an1 是以首项为 1,公差为 1 的等差数列.1an11(n1)1,ann1n.规律方法 等差数列的四种判断方法:(1)定义法:对于n2的任意自然数,验证anan1为同一常数.(2)等差中项法:验证2an1anan2(n3,nN*)都成立.(3)通项公式法:验证anpnq.(4)前n项和公式法:验证SnAn2Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列,主要适合在选择题中简单判断.基础诊断考点突破课堂总结考点三 等差数列的性质及应
12、用【例3】(1)(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1a3a53,则S5()A.5B.7C.9D.11(2)(2016南昌统考)设等差数列an的前n项和为Sn,若S39,S636,则a7a8a9等于()A.63B.45C.36D.27(3)已知 Sn 是等差数列an的前 n 项和,若 a12 014,S2 0142 014S2 0082 0086,则 S2 017_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)an为等差数列,a1a52a3,得 3a33,则 a31,S55(a1a5)25a35,故选 A.(2)由an是等差数列,得 S3,S6S3,S9S6 为等差数列.即 2(S6S
13、3)S3(S9S6),得到 S9S62S63S345,故选 B.(3)由等差数列的性质可得Snn 也为等差数列.设其公差为 d.则S2 0142 014S2 0082 0086d6,d1.故S2 0172 017S11 2 016d2 0142 0162,S2 01722 0174 034.答案(1)A(2)B(3)4 034 基础诊断考点突破课堂总结规律方法 等差数列的性质是解题的重要工具.(1)在等差数列an中,数列 Sm,S2mSm,S3mS2m 也成等差数列.(2)在等差数列an中,数列Snn 也成等差数列.基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后3
14、项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.10(2)(2015广东卷)在等差数列an中,若a3a4a5a6a725,则a2a8_.解析(1)因为 a1a2a334,an2an1an146,a1a2a3an2an1an34146180,又因为 a1ana2an1a3an2,所以 3(a1an)180,从而 a1an60,所以 Snn(a1an)2n602390,即 n13.基础诊断考点突破课堂总结(2)因为an是等差数列,所以a3a7a4a6a2a82a5,a3a4a5a6a75a525,即a55,a2a82a510.答案(1)A(2)10 基础诊断
15、考点突破课堂总结考点四 等差数列前n项和及其最值【例4】(1)(2017衡水月考)等差数列an的前n项和为Sn,已知a113,S3S11,当Sn最大时,n的值是()A.5B.6C.7D.8(2)设数列an的通项公式为an2n10(nN*),则|a1|a2|a15|_.解析(1)法一 由S3S11,得a4a5a110,根据等差数列的性质,可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a70,a85时,an0,|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20100130.答案(1)C(2)130基础诊断考点突破课堂总结规律方法 求等差数列前n项和的最值,常用的方法:(
16、1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.基础诊断考点突破课堂总结【训练 4】(2017长春质量检测)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,a10 且a6a5 911,则当 Sn 取最大值时,n 的值为()A.9B.10C.11 D.12解析 由a6a5 911,得 S11S9,即 a10a110,根据首项 a10 可推知这个数列递减,从而 a100,a110,故 n10 时,Sn 最大.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结思想方法 1.在解有关等差数列的基本量问题时,可通过列关于a1,d的方程组进行求解.2.证明等差数列要用定义;另外还可以用等差中项法,通项公式法,前n项和公式法判定一个数列是否为等差数列.3.等差数列性质灵活使用,可以大大减少运算量.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”,如证明了an1and(n2)时,应注意验证a2a1是否等于d,若a2a1d,则数列an不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时,一定要注意自变量n是正整数.
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