1、北京市首都师范大学附属中学2019届高三数学下学期三模试题 理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，那么( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出AB【详解】解：集合Ax|x2k，kZ，Bx|x25x|，AB2，0，2故选B【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.若复数满足，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：故应选C考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3.执行如图所示的程序框图，若
2、输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：模拟程序的运行，可得： m=1 满足条件m（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3 满足条件m（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7 满足条件m（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15 满足条件m（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31 满足条件m（0，100），执行循环体，
3、n=63，输出n的值为63，m=63 满足条件m（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127 此时，不满足条件m（0，100），退出循环，结束 可得输出数据的总个数为6故选B【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 由，解得，同理可得， 设目标函数，则， 当直线过点时取得最小值，最小值， 所以恒成立，故选C5.为非零向量，“”为“共线”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要
4、不充分条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.【详解】分别表示与同方向的单位向量，则有共线，而共线，则是相等向量或相反向量，“”为“共线”的充分不必要条件.故选:B.【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A. 12种B. 15种C. 17种D. 19种【答案】D【解析】试题分析：分三类：第一类，有一次取到
5、3号球，共有取法；第二类，有两次取到3号球，共有取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.考点：排列组合，分类分步记数原理.7.已知函数，若函数在区间内没有零点，则最大值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，结合正弦函数图象，即可求解.【详解】,令，函数在区间内没有零点，解得，的最大值是.故选:C.【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.8.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D. 【答案】A【解析
6、】【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问
7、题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】由双曲线方程和渐近线方程，求出值，进而求出，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为，双曲线得，渐近线方程的斜率为，.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线标准方程、双曲线的简单几何性质，注意焦点的位置，属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，（t为参数），以O为极点，x轴正方向为极轴
8、的极坐标系中，圆C的极坐标方程是.则圆心到直线的距离是_.【答案】【解析】【分析】将直线参数方程化为普通方程，圆极坐标方程化为直角坐标方程，应用点到直线距离公式即可求解.【详解】消去参数化为，化为，即，圆心，圆心到直线的距离为.故答案为:.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、点到直线的距离等知识，属于基础题11.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.【答案】【解析】【分析】根据三视图还原为底面为菱形高为四棱锥，即可求出结论.【详解】由三视图可知四棱锥的底面为边长为，有一对角为的菱形，高为，所以体积为.故答案为:.【点睛】本题考查三视图求直观图的体
9、积，解题的关键要还原出几何体直观图，属于基础题.12.在各项均为正数的等比数列中，且.（1）数列通项公式是_.（2）设数列的前n项和为，则的最小值是_.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】由求出，即可求出通项公式，根据等比数列与等差数列的关系，可得为等差数列，求出所有的负数或0项，即可求出结论.【详解】设等比数列的公比为，或（舍去），当，数列的前n项和的最小值是.故答案为:；-6.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算、等比数列与等差数列的关系、等差数列前项和最小值等知识，属于中档题.13.写出一组使“”为假命题的一组x，y_.【答案】1,1（答案不唯一）【解析】【分析】即求命题的否
10、定“”为真命题的一组值，可以应用基本不等式求出满足不等式的充分条件，从中取出一组即可.【详解】“”为假命题,其命题否定“”为真命题，命题的否定为真的充分条件为，取.故答案为：1,1（答案不唯一）【点睛】本题考查全称命题的真假求参数，属于基础题.14.血药浓度（Serum Drug Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵
11、坐标表示第种药的血药浓度的峰值（）记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_；记为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据平均的含义进行判断，根据两次横坐标距离大小确定选择.【详解】设,则，由于,所以,即最大；根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A3经历的时间最长，所以中最大的是【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步
12、骤.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】()；()，.【解析】分析：（）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=（）在ABC中，由余弦定理可得b=结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（）在ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因为，可得B=（）在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=由，可得因为ac，故因此， 所以， 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦
13、定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围16.2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组.A组：128，100，151，125，120B组：100，102，96，101，己知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是.（1）求a的值；（2）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A，B两组数据中各随机抽取一个数
14、据，记两次运行中正点运行的次数为X，求X的分布列及期望；（3）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义.【答案】（1）；（2）分布列详见解答，期望为；（3）详见解答.【解析】【分析】（1）由已知中位数100，确定的范围，再求出不小于100的数的个数，即可求出；（2）随机变量X可能值为，根据每组车“正点运行”概率求出X可能值为的概率，即可求出随机变量的分布列，进而求出期望;（3）利用方差表示数据集中的程度，说明疏堵工程完成后公交车的稳定程度.【详解】（1）B组数据的中位数为100，根据B组的数据，从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是，B组中不小于100的有4个数，所以
15、；（2）从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，“正点运行”概率分别为，从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，X可能值为，X的分布列为：X012，X期望为；（3）对比两组数据，组数据方差更小，说明疏堵工程完成后公交车运行时间更为稳定.【点睛】本题考查中位数和概率求参数，考查随机变量的分布列和期望，属于基础题.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，是等腰三角形，且.四边形ABCD是直角梯形，.（1）求证：平面PDC.（2）请在图中所给五个点P，A，B，C，D中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC垂直，并给出证明.（3）当平面平面ABCD时，求直线PC与平面PAB所
16、成角的正弦值.【答案】（1）详见解答；（2），证明见解答；（3）.【解析】【分析】（1）由已知，即可证明结论；（2）根据已知条件排除，只有可能与垂直，根据已知可证；（3）利用垂直关系，建立空间直角坐标系，求出坐标和平面PAB的法向量，即可求解.【详解】（1）平面平面，平面；（2），证明如下：取中点，连， ，平面平面，平面，；（3）平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，.四边形ABCD是直角梯形，以为坐标原点，以，过点与平行的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，平面一个法向量为，设直线PC与平面PAB所成角为，直线直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.
17、【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，要注意空间垂直间的转化，考查用空间向量法求线面角，考查计算求解能力，属于中档题.18.已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P（）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且PFQ=90，求证：AQBM【答案】（）（-，0）（0，）（）详见解析【解析】【分析】（）根据题意可得得c2a22，由e，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM的斜率的取值范围，（）题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x02，则1，可得直线A
18、M的方程y（x+2），求出点Q的坐标，根据向量的数量积和斜率公式，即可求出kBMkAQ0，问题得以证明【详解】解：（）由题意可得c2=a2-2，e=，a=2，c=，椭圆的方程为+=1，设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得-m，又A（-2，0），直线AM的斜率kAM=（-，），又M为椭圆C上异于A，B的一点，kAM（-，0），（0，），（）由题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x02，则+=1，直线AM的方程为y=（x+2），令x=0，得点P的坐标为（0，），由PFQ=90，可得=0，（-，）（-，y1）=0，即2+y1=0，解得y1=-，Q（0，-），kBM=，kAQ=
19、-，kBM-kAQ=+=0，故kBM=kAQ，即AQBM【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题19.已知函数.（1）已知函数在点处的切线与x轴平行，求切点的纵坐标.（2）求函数在区间上的最小值；（3）证明：，使得.【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）求的导函数，令，即可求解；（2）求出在单调区间，极值点，即可求解；（3）转化为函数，与直线恒有交点，即可证明结论.【详解】（1），在点处的切线与x轴平行，；（2）由（1）得，当时，递减区间是，的增区间是，当时，取得极小值，也是最小值为，函数在区间上的最小值；（3）由（2）得递减区间
20、是，令，当时，函数图像与直线有唯一的交点，且交点的横坐标，使得.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点等知识，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.20.数列：满足：，或1（）对任意，都存在，使得，其中 且两两不相等(I)若写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；1,1,1,2,2,2;1,1,1,1,2,2,2,2;1,l,1,1,1,2,2,2,2()记若，证明：；()若，求的最小值.【答案】() ()见解析（）的最小值为【解析】试题分析：（）依据定义检验给出的数列是否满足要求条件（）当时，都在数列中出现，可以证明至少出现4次，2
21、至少出现2次，这样 （）设出现频数依次为同（）的证明，可得：，则，我们再构造数列：，证明该数列满足题设条件，从而的最小值为解析：（）对于，对于，或，不满足要求；对于，若，则，且彼此相异，若，则，且彼此相异，若，则，且彼此相异，故符合题目条件；同理也符合题目条件，故符合题目条件的数列的序号为注：只得到 或只得到 给 1分，有错解不给分（）当时，设数列中出现频数依次为，由题意 假设，则有（对任意），与已知矛盾，所以同理可证： 假设，则存在唯一的，使得那么，对，有（两两不相等），与已知矛盾，所以. 综上：，所以（）设出现频数依次为同（）的证明，可得：，则取得到的数列为：下面证明满足题目要求对，不妨令， 如果或，由于，所以符合条件； 如果或，由于，所以也成立； 如果，则可选取；同样的，如果，则可选取，使得，且两两不相等； 如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立综上，对任意，总存在，使得，其中且两两不相等因此满足题目要求，所以的最小值为点睛：此类问题为组合最值问题，通常的做法是先找出变量的一个范围，再构造一个数列，使得前述范围的等号成立，这样就求出了最值
