1、第二章 平面向量 小结与复习 温故知新专题一 有关向量的共线问题例 1：已知 a(1,2)，b(3,2)若 ka2b 与 2a4b 平行，求实数 k 的值探究本题考查两向量的共线问题，要求学生熟练掌握两向量共线的条件解析ka2bk(1,2)2(3,2)(k6,2k4)，2a4b2(1,2)4(3,2)(14，4)，ka2b 与 2a4b 平行，(k6)(4)(2k4)140.解得 k1.典例解析专题二 有关向量的夹角、垂直问题例 2：向量 e1、e2 是夹角为 60的两个单位向量，求向量 a2e1e2 与 b3e12e2 的夹角探究求向量的夹角，我们很容易想到运用夹角公式cos ab|a|b|
2、x1x2y1y2x21y21 x22y22.典例解析解析ab(2e1e2)(3e12e2)6e214e1e23e1e22e226e1e224|e1|e2|cos6072，|a|2e1e22e1e2 2 4e21e224e1e2 54cos60 7，|b|3e12e2|3e12e2 2 9e214e2212e1e2 1312cos60 7.夹角满足 cos ab|a|b|727 712.向量 a 与 b 的夹角为 120.点拨 本题易犯的三点错误：(1)求 a2e1e2 或 b3e12e2 的模时，错认为|a|2212或|b|3222，这是因为 e1 与 e2 不是互相垂直的单位向量，所以(2,
3、1)或(3,2)不是 a 或 b 的坐标，要将其转化成模的平方(2)求数量积 e1e2 时极易漏掉 cos，应为 e1e2|e1|e2|cos(为 e1 与 e2 的夹角)(3)若应用三角形法则或平行四边形法则求向量模时极易找错向量间的夹角注意找两向量夹角时两向量必须有共同起点归纳升华例 3：已知 O 为平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，点 P 满足OP OB OC2(AB|AB|cosBAC|AC|cosC)，(0，)，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A重心B外心C垂心D内心解析设线段 BC 的中点为 D，则OB OC2OD.OP OD(AB|AB|cosBAC|
4、AC|cosC)，OP OD DP(AB|AB|cosBAC|AC|cosC)DP BC(ABBC|AB|cosBACBC|AC|cosC)(|AB|BC|cos B|AB|cosB|AC|BC|cosC|AC|cosC)0，DPBC，点 P 的轨迹一定通过ABC 的外心，故选 B答案 B专题三 向量的长度(模)与距离的问题向量的模，即向量的大小，用来表示向量的有向线段的长度，向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点，一般地，求向量的模主要利用公式|a|2a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利
5、用公式|a|x2y2，将它转化为实数问题，使问题得以解决典例解析例 4：已知|a|3，|b|4，求|ab|的取值范围解析解法 1：|a|b|ab|a|b|，1|ab|7.即|ab|的取值范围是1,7解法 2：|ab|2a2b22aba2b22|a|b|cos2524cos，为两向量 a、b 的夹角，0，|ab|21,49|ab|1,7专题四 数形结合思想数形结合思想：向量本身既具有大小，又具有方向，可以用几何法表示，而向量又有良好的运算性质坐标运算，可把向量与数联系起来，这样向量具备了“数”与“形”的两方面特征处理两直线平行、垂直、三点共线等问题是几何问题，但可通过向量的坐标运算这种代数手段实
6、现证明，还可利用向量的数量积处理线段的长度、角度等问题典例解析例 5：已知非零向量 a，b，且|a|b|ab|.求：(1)a，b 的夹角；(2)b，ab 的夹角解析 设OA a，OB b，以 OA 与 OB 的邻边作平行四边形 OACB，如下图，由|a|b|ab|知，OACB 是菱形，且OAC与OBC 都是正三角形，则(1)AOBAOCBOC120，a，b 的夹角为 120.(2)AOB120，OABOBA30.BAab，OB，BA的夹角为 18030150，即 b，ab 的夹角为 150.专题五 平面向量的综合应用1平面向量的综合应用主要涉及在平面几何、解析几何与物理中的应用，重点是在平面几
7、何中的应用2解决此类问题的关键是分析问题将问题转化为向量问题，利用向量的有关运算去解决问题典例解析例 6：在某海滨城市 O 附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O(如图所示)的东偏南(0，2)方向 300 km 的海南 P 处，并以 20 km 的速度向西偏北 45方向移动当前半径为 60 km，并以 10 km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cos(45)45，cos 210解析设 t 小时后，台风中心移动到 Q 处，此时城市开始受到台风的侵袭，OPQ45，OQ OP PQ，OQ 2(OP PQ)2，OP 2PQ 22OP PQ，OQ 2OP 2PQ 22|OP|PQ|cos180(45)OP 2PQ 22|OP|PQ|cos(45)3002(20t)2230020t45100(4t296t900)依题意得 OQ 2(6010t)2，解之得 12t24，从而 12 小时后该城市开始受到台风的侵袭课堂小结作 业 不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。
