1、云南省师范大学附属中学呈贡校区2020-2021学年高二数学上学期第一学段模块考试（期中）试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 在一次数学考试中，高二理8班56名同学的成绩的茎叶图如图所示，若将同学的成绩由高分到低分编为156号，再用系统抽样从中抽取7人，则成绩在区间70，86的人数应抽取（ ）人A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图中的数据以及系统抽样从中抽取7人，得到抽取比例为，然后在区间70，86上的人数按照此比例抽取.【详解】由茎叶图以及系统抽样从中抽取7人，得到抽取比例为
2、，成绩在区间70，86的人数为，抽取人数为.故选：B2. 设一组样本数据的方差为0.05，则数据的方差为（ ）A. 0.05B. 0.5C. 5D. 50【答案】C【解析】【分析】分别写出两个样本数据的方差公式，比较后即可得出结果.【详解】设样本数据的平均数是，方差，则数列的平均数是，方差.故选：C3. 命题“对任意，都有”的否定为（ ）A. 对任意，都有B. 不存在，都有C. 存在，使得D. 存在，都有【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定形式直接求解.【详解】全称命题“对任意，都有”的否定是存在，都有.故选：D4. 函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对
3、称，则f(x)=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】与曲线y=ex关于y轴对称的曲线为，向左平移1个单位得，即故选D5. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时, 从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是( )A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解，得到答案.【详解】从7个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，其平均数、极差、方差都可能会发生改变，不变的数字特征数中位数.故选：A【点睛
4、】本题考查平均数、中位数、方差、极差概念，属于简单题.6. 已知变量和满足关系，变量与负相关下列结论正确的是（ ）A. 与负相关，与负相关B. 与负相关，与正相关C. 与正相关，与负相关D. 与正相关，与正相关【答案】C【解析】【分析】先根据一次项系数的符号判断和正相关，再设，得出与的关系式即可判断.【详解】因为变量和满足关系，所以和正相关，又因为与负相关，设，所以，可得，所以与负相关，所以与正相关，与负相关，故选：C【点睛】关键点点睛：正确理解相关系数的符号与正相关还是负相关的关系是解决本题的关键，要能想到设代入，得到与的关系式.7. 今年学校的体育节将于12月3日5日举行，某班的甲、乙两名
5、同学各自等可能的从100米、200米和跳远三项运动项目中选择2项报名参赛，则他们选择的两项运动项目都相同的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，甲乙两同学各有3种选法，共有种不同的选法，再由组合数的计算，得到他们选择的两项运动项目都相同，共有种不同的选法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由甲、乙两名同学各自等可能的从100米、200米和跳远三项运动项目中选择2项报名参赛，其中每个同学各有3种选法，共有种不同的选法，其中他们选择的两项运动项目都相同，共有种不同的选法，所以他们选择的两项运动项目都相同的概率为.故选：A.8. 双曲线的一个焦点到一条渐
6、近线的距离等于焦距的，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意列出等式，再由之间关系，最后求出离心率【详解】双曲线的渐近线方程：，右焦点为，由题意可得，即，而，所以，.故选：D9. 点到直线的距离的最大值为（ ）A 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】点到直线的距离，设，所以，所以距离的最大值为.故选：B10. 已知等比数列的公比为，前项和为，则是的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】按照判断充分性和必要性的方向判断选项.【详解】当
7、首项时，若，则每一项都是负数，所以，则，所以不是充分条件，反过来，当时，则.所以是的必要不充分条件.故选：A11. 秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法如图所示的程序框图是使用秦九韶算法计算多项式值的一个实例把k进制的数转化为10进制的数其实就是求一个多项式的值的运算我们使用该程序时输入，运行中依次输入了，则该程序运行的时求下列哪个数转化为10进制数的计算（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依次列出每次循环的结果，可得答案.【详解】模拟程序的运行，可得：，满足进行循环的条件：，满足进行循环的条件：，满
8、足进行循环的条件：， 满足进行循环的条件：， 不满足进行循环的条件，输出所以该程序是将转化为10进制的运算，故选：B12. 已知点，若圆上存在点，满足，则最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先设点，利用，转化为，利用几何意义求的最大值.【详解】由圆的方程可知，圆的圆心，半径为，设 则，即，根据的几何意义可知，的最大值就是圆上的点到原点的距离的最大值，即圆心到原点的距离加半径，即.故选：C【点睛】结论点睛：与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：（1）设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为，最大值为；（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为
9、中点的弦；（3）记圆的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为，最小值为；二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 与的最大公约数为_【答案】【解析】【分析】利用辗转相除法，逐步计算，即可求得公约数，得到答案.【详解】利用辗转相除法：可得，所以与的最大公约数为.故答案为：.14. 已知抛物线上一点到焦点的距离是它到轴的距离的2倍，则点到焦点的距离为_【答案】2【解析】【分析】设点的横坐标为，利用抛物线的定义和条件建立方程求出即可.【详解】设点的横坐标为因为抛物线的方程为，所以其准线方程为所以根据抛物线的定义可得，点到焦点的距离为，所以，解得所以点到焦点
10、的距离为2故答案为：215. 不知从何时起双十一（11月11日）变成了全民购物的双十一全球购物节，2019年11月12日中国人民银行通过微信公众号宣布，双十一期间共处理网络支付业务11.79亿笔、金额14820.7亿元，即全国人民人均1单，人均花费1000元某公司对某地区10 000名在2019年双十一期间网络购物者的消费情况进行统计，发现消费金额都在区间（单位：万元）内，其频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图所给数据，估计该地区购物者在双十一期间的平均消费额为_万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）【答案】【解析】【分析】首先根据小矩形的面积之和等于求出，再根据平均数等于小矩形
11、的面积乘以小矩形底边中点横坐标之和即可求解.【详解】由频率分布直方图可知：，解得，平均消费额为 （万）.故答案为：16. “全国部分大学附中教学协作体”成立于1991年，由湖南师大附中，福建师大附中，陕西师大附中，南开大学附中，辽宁师大附中和云南师大附中在长沙发起年会倡议，九十年代末期首都师大附中和山东师大附中相继加盟今年10月协作体第二十九届年会在我校举行，在年会联谊会的舞台左右两端分别挂有两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮是相互独立的，且都在通电后4秒内的任一时刻等可能的闪亮那么在两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率为_【答案】【解析】【分析】利用几何概型的概率计算公
12、式即可求解.【详解】设第一串彩灯闪亮的时刻为秒，第二串彩灯闪亮的时刻为秒，基本事件的总区域，满足闪亮时刻相差不超过2秒的事件，作出事件表示的区域（阴影部分）. 故答案为：二、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 记为等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项；（2）设，求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题得解方程组即得数列的通项；（2）求出，再利用错位相减法求出的前项和.【详解】（1）由题得.（2），所以，所以，上面两式错位相减得，所以，所以，所以.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法有5种：（1）公式法；（2）倒序相加法；（3）分组求和法；（4
13、）裂项相消法；（5）错位相减法.要根据数列的通项特征，灵活选用方法解答.18. 已知的内角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，边上的中线的长为，求的面积.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由条件可得，然后可得，然后化简得到即可；（2）在中利用余弦定理求出，然后可得答案.【详解】（1）因为，所以所以所以所以，因为，所以即，因为，所以（2）在中，由余弦定理可得即，解得或当时，当时，19. 如图，圆柱的轴截面是正方形，点是底面圆周上异于的一点，是垂足.（1）证明：；（2）若，当三棱锥体积最大时，求点到平面的距离.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）要证明线线垂
14、直，需证明线面垂直，根据题中所给的垂直关系，证明平面；（2）首先确定点的位置，再根据等体积转化求点到平面的距离.【详解】（1）由圆柱性质可知，平面，平面，是圆柱底面的直径，点在圆周上，又，平面，平面，又，且，平面，平面，；（2），当最大时，即最大，即是等腰直角三角形时，并且点到平面的距离就是点到直线的距离,设点到平面的距离为，则，解得：【点睛】方法点睛：本题重点考查垂直关系，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.20. 国家统计局浙江调查总
15、队2019年3月4日公布了历年城乡居民家庭人均收入情况（19782018），其中2010年至2018年该地区城镇居民家庭人均可支配收入y（单位：万元）如下表所示年份201020112012201320142015201620172018年份代号t123456789人均可支配收入y2.73.13.53.74.14.44.75.15.6（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2010年至2018年该地区城镇居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年城镇居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别，【答案】（1）；（2）2010年至2018年
16、该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.345千元，预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为千元.【解析】【分析】（1）根据最小二乘法估计公式，算出线性回归方程的基本量，即可得解；（2）由（1）知，故2010年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加， 将2020年的年份代号代入，即可得解.【详解】（1）由题意得，所以所以，所以关于的线性回归方程为.（2）由（1）知，故2010年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.345千元，将2020年的年份代号代入，得，故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为千元.21. 全美数学竞赛（Amer
17、ican Mathematics Competition， 简称AMC）共有25道选择题，每题6分，共150分每道题有A，B，C，D，E共5个选项，只有一个正确选项评分规则为：填写正确答案得6分，不填得2分，填错答案得0分某考生考试快结束时，还余下2道题没有完成若该考生随机选中5个选项中的某一个和不填这6种情况是等可能的（1）求他这2题恰好得到2分的概率；（2）如果这2道题中，每道题均可随机猜一个答案填写或者不填，请从小到大列举出所有可能的得分【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得他恰好一道题填错，另一道题不填，求出一道题填错的概率为，一道题不填的概率为，再利用独立事件的概率
18、乘法公式即可求解.（2）根据题意，逐一列举即可求解.【详解】（1）记“他这2题恰好得到2分”为事件， 则他恰好一道题填错，另一道题不填，由于该考生随机选中5个选项中某一个和不填这6种情况是等可能的，一道题填错的概率为，一道题不填的概率为，故.（2）如果这2道题中，每道题均可随机猜一个答案填写或者不填，当2道题都填，且都填错，则得分；当道题填错，另一道题不填，则得分；当2道题都不填，则得分；当道题填对，另一道题填错，则得分；当道题填对，另一道题不填，则得分；当2道题都填，且都填对，则得分；故从小到大列举出所有可能的得分依次为.22. 已知椭圆的上顶点为，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设不过点的直线与椭圆交于两点，满足：，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意得，再结合即可求得答案.（2）设，与椭圆的方程联立，求出弦长以及点的直线的距离，根据，则，从而求出，利用，将式子转化为二次函数即可求解.【详解】（1）由题意得，结合，解得所以椭圆的方程为：.（2）由题意，直线的斜率存在，设，与椭圆的方程联立，设，将直线与联立，得，化简得，由得：，即，即，根据韦达定理解得或，直线不过点，令，考查的最大值，内部为二次函数，最大值在时取得，此时的最大值为，所以面积的最大值.【点睛】关键点点睛：考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是根据求出，考查了运算求解能力.
