1、第2课时等比数列的性质 学习目标1.理解等比数列的函数特性(数学抽象)2.掌握等比中项的定义并能应用定义解决问题(数学抽象)3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系并解决相应的问题(逻辑推理)必备知识自主学习导思1.等比数列an中,若公比q1,则数列an是单调递增数列吗?2.任意两个数都有等差中项,任意两个数都有等比中项吗?1.等比数列的增减性(1)q0时,an是摆动数列.(2)0q0,则an是减数列,若a11时,若a10,则an是增数列,若a10时,等比数列各项的符号相同;q0时,等比数列各项的符号正负交替.2.等比中项(1)前提:在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成等比数列.(2)
2、结论:G叫作a,b的等比中项.(3)满足关系式:G2=ab.“G是a与b 的等比中项”的等价形式有哪些?提示:G是a与b 的等比中项,等价于a,G,b(或b,G,a)成等比数列,等价于G2=ab.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)等差数列的增减性只由公差决定,等比数列的增减性也只由公比决定.()(2)任意两个数都有等差中项,也都有等比中项.()(3)等差中项是唯一的,等比中项也是唯一的.()(4)若G2=ab,则a,G,b一定成等比数列.()提示:(1).还必须考虑首项的符号.(2).只有两个同号的数才有等比中项.(3).若两个数有等比中项,一定是互为相反数的两个.(4).当a,G
3、,b都不为零时,a,G,b才成等比数列.2.已知等比数列an,a1=1,a3=,则a5等于() A.B.-C.D.【解析】选C.根据等比数列的性质可知,a1a5=,a5=.3.等比数列an的公比q=-,a1=,则数列an是()A.递增数列B.递减数列C.常数数列D.摆动数列【解析】选D.因为公比q=-0,要使an是递增数列,则需公比q1.答案:(1,+)关键能力合作学习类型一等比数列性质的应用(逻辑推理)1.在等比数列an中,a3=16,a1a2a3a10=265,则a7等于.【解析】因为a1a2a3a10=(a3a8)5=265,所以a3a8=213,又因为a3=16=24,所以a8=29.
4、因为a8=a3q5,所以q=2.所以a7=256.答案:2562.在各项均为正数的等比数列an中,若a3a5=4,则a1a2a3a4a5a6a7=.【解析】因为a3a5=4,an0,所以a4=2.所以a1a2a3a4a5a6a7=(a1a7)(a2a6)(a3a5)a4=432=128.答案:1283.(2020余姚高一检测)已知等比数列,若a5=2,a9=32,则a4a10=()A.16B.16C.64D.64【解析】选D.因为为等比数列,且a5=2,a9=32,由等比数列的性质得,a4a10=a5a9=232=64.4.已知等比数列,满足log2a3+log2a10=1,且a3a6a8a1
5、1=16,则数列的公比为()A.4B.2C.2D.4【解析】选B.等比数列中,log2a3+log2a10=1log2(a3a10)=1a3a10=2,a3a6a8a11=16=16,由等比数列各项正负性的性质可知:a3,a11同号,故a3a11=4,除以,得:等比数列的公比q=2.等比数列的常用性质性质1:通项公式的推广:an=amqn-m(n,mN+).性质2:若an为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN+),则akal=aman.性质3:若an,bn(项数相同)是等比数列,则an,anbn,仍是等比数列.类型二等比中项的应用(逻辑推理)【典例】三个正数成等差数列,它们的和等于15
6、,如果它们分别加上1,3,9就成等比数列,求这三个数.【思路导引】设成等差数列的数为未知数,然后利用等比数列的知识建立方程组求解.另外,对本题若设所求三数为a,b,c,则列出三个方程求解,运算过程冗繁,因此在计算过程中,设的未知数个数应尽可能少.【解析】设所求之数为a-d,a,a+d,则由题设得解此方程组,得或又三个数为正数,所以d=2所以所求三数为3,5,7.应用等比中项解题的两个注意点(1)要证三个数a,G,b成等比数列,只需证明G2=ab,其中a,b,G均不为零.(2)已知等比数列中的相邻三项an-1,an,an+1,则an是an-1与an+1的等比中项,即=an-1an+1,运用等比中
7、项解决问题,会大大减少运算过程.(2020包头高一检测)已知等比数列满足a1=,a3a5=4,则a2=()A.2B.1C.D.【解析】选C.由题意可得a3a5=4a4=2,所以q3=8q=2,故a2=a1q=.类型三等差数列与等比数列的综合应用(逻辑推理)角度1求通项公式【典例】已知an是各项均为正数的等差数列,公差为2.对任意的nN+,bn是an和an+1的等比中项.cn=-,nN+.(1)求证:数列cn是等差数列;(2)若c1=16,求数列an的通项公式.【思路导引】(1)利用条件化简cn-cn-1=常数,证明cn为等差数列.(2)求得a1进而求an.【解析】(1)因为=anan+1,所以
8、cn-cn-1=(-)-(-)=(an+1an+2-anan+1)-(anan+1-an-1an)=an+1(an+2-an)-an(an+1-an-1)=an+12d-an2d=2d(an+1-an)=2d2=8(常数),所以数列cn是等差数列.(2)c1=16,则-=16,所以a2a3-a1a2=16,a2(a3-a1)=16,(a1+d)2d=16,解得a1=2,所以an=2+(n-1)2=2n.已知数列an为等差数列,a1,a2,a3成等比数列,a1=1,则a2 020=()A.5B.1C.0D.-1【解析】选B.设等差数列an的公差为d,则由a1,a2,a3成等比数列得(1+d)2=
9、1+2d,解得d=0,所以a2 020=a1=1.角度2求前n项的和【典例】已知首项为的等比数列an是递减数列,且a1,a2,2a3成等差数列;数列bn的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,nN+.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)已知cn=log2an,求数列的前n项和Tn.【思路导引】(1)由a1,a2,2a3成等差数列求q,可得an通项公式;由Sn=n2+n,nN+利用bn=求得bn通项公式.(2)整理=,可用裂项相消法求和.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,由题知a1=,又因为a1,a2,2a3成等差数列,所以3a2=a1+2a3,所以q=+q2,解得q=1或q=.又由an是
10、递减数列,所以q=.所以an=a1qn-1=,当n=1时,b1=2,当n2时,bn=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n.又b1=2满足该式,所以数列bn的通项公式为bn=2n(nN+).(2)由于cn=log2an=-n(n+1),所以=-,所以Tn=-=-=-,故Tn=-(nN+).求解等差、等比数列综合问题的技巧(1)理清各数列的基本特征量,明确两个数列间各量的关系.(2)发挥两个数列的基本量a1,d或a1,q的作用,并用好方程这一工具.(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验.1.在等比数列an中,若a7=-2,则此数列的前13项之积等于.【解析】因为an是等比数
11、列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=,所以a1a2a3a13=()6a7=,又a7=-2,所以a1a2a3a13=(-2)13=-213.答案:-2132.已知等差数列an的公差d0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值为.【解析】因为a1,a3,a9成等比数列,所以=a1a9;所以(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=a1,所以=.答案:3.已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=(-1)n-1,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)因为S1=a1,S2=2a1+2=
12、2a1+2,S4=4a1+2=4a1+12,由题意,得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.(2)bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1,当n为偶数时,Tn=-+-=1-=;当n为奇数时,Tn=-+-+=1+=,所以Tn=.课堂检测素养达标1.等比数列an中,a2=4,a7=,则a3a6+a4a5的值是()A.1B.2C.D.【解析】选C.a3a6=a4a5=a2a7=4=,所以a3a6+a4a5=.2.公比为的等比数列an的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.a3a11=16=16a7
13、=4a16=a7q9=32log2a16=5.3.已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=.【解析】由已知,a3=a1+4,a4=a1+6.因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1a4,所以(a1+4)2=(a1+6)a1,解得a1=-8,所以a2=-6.答案:-64.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为.【解析】设这8个数组成的等比数列为an,则a1=1,a8=2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7=(a2a7)(a3a6)(a4a5)=(a1a8)3=23=8.答案:85.(教材二次开发:习题改编)已知数列为等比数列,其中
14、a5,a9为方程x2+2 019x+9=0的两个根,则a7的值为()A.-3B.3C.3D.9【解题指南】由根与系数的关系求得a5a9,再利用等比数列的下标和性质,即可求得a7.【解析】选A.因为a5,a9为方程x2+2 019x+9=0的两个根,故可得a5a9=9,a5+a9=-2 019,故a50,a90,根据等比数列的下标和性质a5a9=9,解得a7=3.又因为a7=a5q2,a50,故可得a70,故a7=-3.6.设an是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,若b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求此等比数列的通项公式an.【解析】 由b1+b2+b3=3,得log2(a1 a2a3)=3,所以a1a2a3=23=8,因为=a1a3,所以a2=2,又b1b2b3=-3,设等比数列an的公比为q,则log2log2(2q)=-3.解得q=4或,所以所求等比数列an的通项公式为an=a2qn-2=22n-3或an=25-2n.
