1、2015-2016学年北京市通州区潞河中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上）1命题“p或q”为真命题（）A命题p为真B命题q为真C命题p和命题q一真一假D命题p和命题q至少一个为真2已知mR，则“m5”是“曲线为椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上，AF2x轴，若，则椭圆的离心率等于（）A2BCD4设抛物线y2=px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则p的值为（）A4B4C8D85已知点A（4
2、，8）是抛物线C：y2=2px与直线l：y=k（x+4）的一个交点，则抛物线的焦点到直线l的距离是（）ABCD6已知点P在抛物线y2=4x上，则点P到直线l1：4x3y+11=0的距离和到l2：x=1的距离之和的最小值为（）AB3C2D7已知双曲线与抛物线y2=4x的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若AOB的面积等于1，则m=（）AB1CD8若直线l被圆x2+y2=4所截得的弦长不小于，则l与下列曲线一定有公共点的是（）AB（x1）2+y2=1Cy=x2Dx2y2=1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分共30分把答案填写在答题纸上）9命题“xR，x2+2x+20”的否定为10已知双曲
3、线过点且渐近线方程为y=x，则该双曲线的标准方程是11在抛物线x2=2py（p0）上，纵坐标为2的点到抛物线焦点的距离为5，则p=12抛物线顶点在原点，其准线方程过双曲线的右焦点，则此抛物线方程为13在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y2=1右支上一个动点若点P到直线xy+2=0的距离大于t恒成立，则实数t的最大值为14已知直线l：y=2，定点F（0，2），P是直线上的动点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆面积的最小值为二、解答题本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15已知一定点A（4，3），B为圆（x+1）2+y2=4上的动点，求线段AB中点M的轨迹
4、方程，并说明轨迹是什么图形16已知双曲线的实轴长为2，点在此双曲线上（）求双曲线C的方程；（）已知直线xy+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB中点N在圆x2+y2=5上，求实数m的值17在直角坐标系xOy中，点M到点F1、F2的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：与轨迹C交于不同的两点P和Q（）求轨迹C的方程；（）是否存在常数k，使？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由18已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点（）若，求直线AB的方程；（）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值19已知椭圆的两个焦点，点在此
5、椭圆上（）求椭圆C的方程；（）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值20已知椭圆的离心率，点（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直（）求椭圆C的标准方程；（）设椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M，N，点D（0，1），当|DM|=|DN|时，求实数m的取值范围2015-2016学年北京市通州区潞河中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上）1命题“p或q”为真命题
6、（）A命题p为真B命题q为真C命题p和命题q一真一假D命题p和命题q至少一个为真【考点】复合命题的真假【分析】利用“或命题”的定义及其性质即可判断出结论【解答】解：命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q至少一个为真故选：D2已知mR，则“m5”是“曲线为椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】曲线为椭圆m0，且m5即可判断出结论【解答】解：曲线为椭圆m0，且m5“m5”是“曲线为椭圆”的必要不充分条件故选：B3已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上，AF2x轴，若，则椭圆的离心率等于（）A2BCD
7、【考点】椭圆的简单性质【分析】利用勾股定理与椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出【解答】解：设|AF1|=5m，|AF2|=3m，5m+3m=2a，2c=4m，e=故选：C4设抛物线y2=px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则p的值为（）A4B4C8D8【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质【分析】先根据标准方程确定椭圆的右焦点坐标，抛物线的焦点坐标，利用抛物线y2=px的焦点与椭圆的右焦点重合，即可得出结论【解答】解：由题意，椭圆的右焦点为（2，0）抛物线y2=px的焦点为，抛物线y2=px的焦点与椭圆的右焦点重合p=8故选D5已知点A（4，8）是抛物线C：y2=2px与直线l：y=k（x+
8、4）的一个交点，则抛物线的焦点到直线l的距离是（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【分析】先将点A的坐标代入抛物线方程及直线的方程，求出p，k的值，进一步求出抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离个数求出抛物线C的焦点到直线l的距离【解答】解：因为点A（4，8）是抛物线C：y2=2px与直线l：y=k（x+4）的一个交点，所以64=8p，8=8k所以p=8，k=1，所以抛物线方程为y2=16x，l的方程为xy+4=0所以抛物线的焦点为（4，0），所以抛物线C的焦点到直线l的距离是=4故选D6已知点P在抛物线y2=4x上，则点P到直线l1：4x3y+11=0的距离和到l2：x=1的距离之和的最小值
9、为（）AB3C2D【考点】抛物线的简单性质【分析】如图所示，过点P分别作PMl1，PNl2，垂足分别为M，N设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，求|PM|+|PN|转化为求|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：如图所示，过点P分别作PMl1，PNl2，垂足分别为M，N设抛物线的焦点为F（1，0），由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，|PM|+|PN|=|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值其最小值为点F到直线l1的距离，|FM|=3故选B7已知双曲线与抛物线y2
10、=4x的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若AOB的面积等于1，则m=（）AB1CD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据条件求出抛物线的渐近线，联立方程求出A，B的坐标，根据三角形的面积建立方程进行求解即可【解答】解：抛物线的准线为x=1，当x=1时，y2=1，即y2=1=，0m1，则y=，设A（1，），B（1，），则AB=2，则S=21=1，即1m2=m2，则m2=，则m=，故选：C8若直线l被圆x2+y2=4所截得的弦长不小于，则l与下列曲线一定有公共点的是（）AB（x1）2+y2=1Cy=x2Dx2y2=1【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据直线l被圆x2+y2=4所截得的弦长不小于，
11、可得圆心到直线l的距离为1，从而直线l与圆x2+y2=1有公共点，根据圆x2+y2=1与x2y2=1有公共点，即可得到结论【解答】解：直线l被圆x2+y2=4所截得的弦长不小于，圆心到直线l的距离d1直线l是圆x2+y2=1，圆x2+y2=1与x2y2=1有公共点直线l与x2y2=1一定有公共点故选D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分共30分把答案填写在答题纸上）9命题“xR，x2+2x+20”的否定为xR，x2+2x+20【考点】命题的否定【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“xR，x2+2x+20”的否定为：命题“x
12、R，x2+2x+20”故答案为：xR，x2+2x+2010已知双曲线过点且渐近线方程为y=x，则该双曲线的标准方程是x2y2=1【考点】双曲线的标准方程【分析】设双曲线方程为y2x2=，代入点，求出，即可求出双曲线的标准方程【解答】解：设双曲线方程为y2x2=，代入点，可得3=，=1，双曲线的标准方程是x2y2=1故答案为： x2y2=111在抛物线x2=2py（p0）上，纵坐标为2的点到抛物线焦点的距离为5，则p=6【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的定义，转化求解即可【解答】解：抛物线x2=2py（p0）上，纵坐标为2的点到抛物线焦点的距离为5，2+=5，p=6故答案为612抛物线
13、顶点在原点，其准线方程过双曲线的右焦点，则此抛物线方程为y2=8x【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的右焦点，结合抛物线的准线方程进行求解即可【解答】解：由双曲线的方程得a2=3，b2=1，c2=3+1=4，即c=2，即双曲线的右焦点为（2，0），则抛物线的方程设为y2=2px，则抛物线的准线方程为x=2，则p=4，即抛物线的方程为y2=8x，故答案为：y2=8x13在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y2=1右支上一个动点若点P到直线xy+2=0的距离大于t恒成立，则实数t的最大值为【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线，利用渐近线和直线xy+2=0
14、平行，求出两平行线之间的距离，利用不等式恒成立进行求解即可【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x或y=x，y=x到平行直线xy+2=0的距离d=，则若点P到直线xy+2=0的距离d，dt恒成立，则t，即t的最大为，故答案为：14已知直线l：y=2，定点F（0，2），P是直线上的动点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆面积的最小值为4【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意知，圆心圆心在以点F为焦点、以直线l为准线的抛物线上，此抛物线方程为 x2=8y，抛物线上只有点（0，0）到直线l的距离最小为2，故圆心为（0，0）时，圆的半径最小【解答】解：由题意知，圆心到点F的距离等于半径，圆心到直线l
15、：y=2的距离也等于半径，圆心在以点F为焦点、以直线l为准线的抛物线上，此抛物线方程为 x2=8y要使圆的面积最小，只有半径（圆心到直线l的距离）最小，因为抛物线上只有点（0，0）到直线l的距离最小为2，故圆的面积的最小值是 22=4，故答案为：4二、解答题本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15已知一定点A（4，3），B为圆（x+1）2+y2=4上的动点，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形【考点】轨迹方程【分析】分别设出M，B的坐标，利用中点坐标公式把B的坐标用M的坐标表示，然后代入已知圆的方程得答案【解答】解：设M（x，y），B（m，n），M是
16、AB的中点，又B在（x+1）2+y2=4上，即（2x4+1）2+（2y+3）2=4，化简为，M点的轨迹方程为，该方程表示的是圆心为，半径为1的圆16已知双曲线的实轴长为2，点在此双曲线上（）求双曲线C的方程；（）已知直线xy+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB中点N在圆x2+y2=5上，求实数m的值【考点】双曲线的简单性质【分析】（）根据双曲线的性质，求出a，b即可求双曲线C的方程；（）根据直线与双曲线的位置关系，求出中点坐标，结合中点坐标在圆上的关系进行求解即可【解答】解：（）依题意知：2a=2，a=1，又点在双曲线上，双曲线方程为：（）设A（x1，y1），B（x2，y2），N
17、（x0，y0）由消y有x22mxm22=0，=（2m）2+4（m2+2）0，N为AB中点，N在圆x2+y2=5上即m2+（2m）2=5，m=1，经检验，符合题意所以，实数m的值为117在直角坐标系xOy中，点M到点F1、F2的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：与轨迹C交于不同的两点P和Q（）求轨迹C的方程；（）是否存在常数k，使？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的应用【分析】（）M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，由此可求出轨迹C的方程（）将，代入曲线C的方程，整理得然后利用根与系数的关系求出k的值【解答】解：（）点M到，的距离之和是4，M的轨迹C是长轴长
18、为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，其方程为（）将，代入曲线C的方程，整理得设P（x1，y1），Q（x2，y2），由方程，得，又若，则x1x2+y1y2=0，将、代入上式，解得又因k的取值应满足0，即4k210（*），将代入（*）式知符合题意18已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点（）若，求直线AB的方程；（）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值【考点】抛物线的简单性质【分析】（）由题意可知：设直线AB的方程为AB方程为y=k（x1），代入抛物线方程，由韦达定理、，即可求得直线AB的斜率；（）四边形OACB面积SOACB=2S
19、AOB=丨OF丨丨y1y2丨，可得当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4【解答】解：（），直线AB的斜率一定存在，设为k，AB方程为y=k（x1）由消y知：k2x2（2k2+4）x+k2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，x1x2=1，x1=54x2，x1x2=（54x2）x2=1，x2=或x2=1（舎）x1=4，x1+x2=，k=直线AB的方程为y=（x1）；（）点C与点O关于点M对称，M为OC中点点C与点O到直线AB的距离相等四边形OACB面积SOACB=2SAOB=丨OF丨丨y1y2丨设直线AB方程为：x=my+1由直线与抛物线联立，消x整理得：y24my4
20、=0，y1+y2=4m，y1y2=4，即当m=0时，四边形OACB的面积最小为419已知椭圆的两个焦点，点在此椭圆上（）求椭圆C的方程；（）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的标准方程可求；（）设直线AB的方程为x=my+1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B两点纵坐标的和与积，求出直线AN，BN的斜率，作和后代入根与系数的关系，整理得答案【解答】解：（）依
21、题意知：，椭圆方程为；（）直线AB过点M（1，0），设直线AB的方程为x=my+1，再设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x得：（m2+3）y2+2my2=0，N（3，2），=为定值20已知椭圆的离心率，点（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直（）求椭圆C的标准方程；（）设椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M，N，点D（0，1），当|DM|=|DN|时，求实数m的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的标准方程可求；（）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式求出MN中点的坐标，再由斜率关系得到m与k的关系，代入判别式大于0求得实数m的取值范围【解答】解：（）依题意知：，解得：a2=3，b2=1，椭圆方程为；（）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消y得：（3k2+1）x2+6kmx+3m23=0，=（6mk）212（3k2+1）（m21）=12（3k2m2+1）0，设MN中点E（x0，y0），则，D（0，1），且|DM|=|DN|，DEMN，则kDEk=1，3k2+1=2m，代入=12（3k2m2+1）0，知m22m0，解得0m2综上：符合条件的实数m的取值范围是（0，2）2017年1月15日