1、1.2类比推理1.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适()A.三角形B.梯形C.平行四边形D.矩形答案:C2.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式S=,可推知扇形面积公式S扇等于()A.B.C.D.不可类比解析:我们将扇形的弧类比为三角形的底边,则高类比为扇形的半径r,S扇=lr.答案:C3.类比平面正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,下列正四面体的性质比较恰当的是()各棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等;各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等.A.B.C.D.解析:由
2、平面几何与立体几何的类比特点可知,三个性质都是恰当的.答案:C4.下列类比错误的是()A.三角形的两边中点连线得到的中位线平行并且等于第三边的一半,类似地,三棱锥的中截面的面积等于底面面积的一半B.三角形两边中点连线得到的中位线平行且等于第三边的一半,类似地,三棱锥的中截面的面积等于底面面积的C.三角形被平行于一边的直线所截得的三角形与原三角形相似,面积比等于相似比的平方,类似地,棱锥被平行于底面的平面所截得的多边形与底面相似,面积比等于相似比的平方D.梯形的中位线等于两底和的一半,类似地,圆台的中截面半径等于上、下两底面半径和的一半解析:选项A错误,三棱锥的中截面的面积等于底面面积的.答案:
3、A5.在平面直角坐标系内,方程=1表示在x,y轴上的截距分别为a,b的直线,拓展到空间,在x,y,z轴上的截距分别为a,b,c(abc0)的方程为()A.=1B.=1C.=1D.ax+by+cz=1解析:由类比推理可知,方程应为=1.答案:A6.已知半径为r的圆的面积为r2,在平面直角坐标系中,椭圆=1(ab0)的离心率e趋近于0时,短半轴b就趋近于长半轴a,此时,椭圆就趋近于圆.类比圆的面积,椭圆=1(ab0)的面积为.解析:当椭圆的离心率e趋近于0时,椭圆趋近于圆,此时a,b都趋近于圆的半径r,故由圆的面积S=r2=rr,猜想椭圆面积S椭圆=ab.答案:ab7.设等差数列an的前n项和为S
4、n,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4,成等比数列.解析:设bn的公比为q,T4=q6,q22,q38,q54,所以T4,成公比为q16的等比数列,直接用类比法将“差”变“比”即可得出结果.答案:8.等和数列的定义是:若数列an从第二项起,以后每一项与前一项的和都是同一常数,则此数列称为等和数列,这个常数称为等和数列的公和.如果数列an是等和数列,且a1=1,a2=3,则数列an的一个通项公式是.解析:由定义知公和为4,且an+an-1=4,那么an-2=-(an-1-2),于是an-2=(-1)n-1(a1-2)
5、.a1=1,an=2+(-1)n即为数列的一个通项公式.答案:an=2+(-1)n9.设等边ABC的边长为a,P是ABC内的任意一点,且P到三边AB,BC,CA的距离分别为d1,d2,d3,则有d1+d2+d3为定值a;由以上平面图形的特性类比空间图形:设正四面体ABCD的棱长为a,P是正四面体ABCD内的任意一点,且P到四个平面ABC,ABD,ACD,BCD的距离分别为d1,d2,d3,d4,讨论d1+d2+d3+d4是否为定值,若是,求出这个定值.解:每个面的面积为a2,正四面体被分成以P为顶点,各侧面为底面的四个三棱锥,故a2(d1+d2+d3+d4)=a2h(h为正四面体的高).由立体
6、几何知识求得h=a.则d1+d2+d3+d4=h=a.10.如图,已知O是ABC内任一点,连接AO,BO,CO,并延长交对边于A,B,C,求证:=1.证明:=1.现运用类比的思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论,并用“体积法”证明.解:=1,其中V,B,C,D为V,B,C,D四点与点O(四面体内一点)相连并延长后与所对面的交点.证明如下:因为,所以=1.备选例题找出圆与球的相似性质,并用圆的下列性质类比球的有关性质.(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦;(2)与圆心距离相等的两弦的弦长相等;(3)圆的周长C=d(d为直径);(4)圆的面积S=r2.解:圆与球有下列相似的
7、性质:(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合,球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合.(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形,球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形.与圆的有关性质类比,可以推测球的有关性质:圆球圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不经过圆心的小截面圆)圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两弦的弦长相等与球心距离相等的两个截面圆的面积相等圆的周长C=d球的表面积S=d2圆的面积S=r2球的体积V=r3其中前三个类比得到的结论是正确的,最后一个则是错误的,由此可见,类比的结论只具有或然性,既可能真,也可能假.反思:虽然由类比所得到的结论未必是正确的,但是它所具有的由特殊到特殊的认识功能,对于发现新的规律和事实却是十分有用的.
