1、2.7函数与方程考点函数的零点与方程的根11.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=cos xB.y=sin xC.y=ln xD.y=x2+1答案Ay=cos x是偶函数,且存在零点;y=sin x是奇函数;y=ln x既不是奇函数又不是偶函数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点.故选A.12.(2013安徽,10,5分)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同实根个数是()A.3B.4C.5D.6答案Af (x)=3x2+2ax+b,则x1,x2为f (x)=0
2、的两不等根.即3(f(x)2+2af(x)+b=0的解为f(x)=x1或f(x)=x2.不妨设x1x2,则f(x)=x1有两解, f(x)=x2只有一解.故原方程共有3个不同实根.13.(2012湖北,9,5分)函数f(x)=xcos x2在区间0,4上的零点个数为()A.4B.5C.6D.7答案Cx0,4,x20,16,又x2=0,时f(x)=0,此时x有6个非负值,f(x)在区间0,4上的零点个数为6,故选C.评析本题考查函数的零点,考查应用意识.14.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-,0)(1,
3、+)解析当a1时, f(x)的图象如图所示,当b(a2,a3时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1=,x2=.综上,a(-,0)(1,+).15.(2012陕西,21,14分)设函数fn(x)=xn+bx+c(nN*,b,cR).(1)设n2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间内存在唯一零点;(2)设n=2,若对任意x1,x2-1,1,有|f2(x1)-f2(x2)|4,求b的取值范围;(3)在(1)的条件下,设xn是fn(x)在内的零点,判断数列x2,x3,xn,的增减性.解析(1)证明:b=1,c=-1,n2时, fn(x)=xn+x-1.fnfn(1)=10,fn(x
4、)在上是单调递增的,fn(x)在内存在唯一零点.(2)当n=2时, f2(x)=x2+bx+c.对任意x1,x2-1,1都有|f2(x1)-f2(x2)|4等价于f2(x)在-1,1上的最大值与最小值之差M4.据此分类讨论如下:(i)当1,即|b|2时,M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|4,与题设矛盾.(ii)当-1-0,即0b2时,M=f2(1)-f2=4恒成立.(iii)当0-1,即-2b0时,M=f2(-1)-f2=4恒成立.综上可知,-2b2.注:(ii),(iii)也可合并证明如下:用maxa,b表示a,b中的较大者.当-1-1,即-2b2时,M=maxf2(1), f2(-
5、1)-f2=+-f2=1+c+|b|-=4恒成立.(3)数列x2,x3,xn,是增数列.理由如下:证法一:设xn是fn(x)在内的唯一零点(n2),fn(xn)=+xn-1=0, fn+1(xn+1)=+xn+1-1=0,xn+1.于是有fn(xn)=0=fn+1(xn+1)=+xn+1-1+xn+1-1=fn(xn+1),又由(1)知fn(x)在上是递增的,故xnxn+1(n2),所以,数列x2,x3,xn,是增数列.证法二:设xn是fn(x)在内的唯一零点,fn+1(xn)fn+1(1)=(+xn-1)(1n+1+1-1)=+xn-1+xn-1=0,则fn+1(x)的零点xn+1在(xn,1)内,故xnxn+1(n2),所以,数列x2,x3,xn,是增数列.
