1、第2课时平面向量数量积的应用考点一平面向量在平面几何中的应用【例1】在ABC中，0，|4，|5，D为线段BC的中点，E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，则()A. B.C D7【解析】解法1：()()514516.故选A.解法2：依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，因为|5，所以C(0,3)，D，易知直线BC的斜率为，因为直线DE是线段BC的垂直平分线，所以直线DE的斜率为，所以直线DE的方程为y(x2)，令x0得y，所以直线DE与y轴的交点坐标为，不妨令E，因为(4，3)，所以(4，3)，故选A.【答案】A方法技巧向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法
2、把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示.(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.已知O，N，P在ABC所在平面内，且|，0，且，则点O，N，P依次是ABC的(C)A重心外心垂心 B重心外心内心C外心重心垂心 D外心重心内心解析：由|知，O为ABC的外心；由0知，N为ABC的重心；因为，所以()0，所以0，所以，即CAPB，同理APBC，CPAB，所以P为ABC的垂心考点二平面向量与三角函数的综合【例2】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ac)c.(1)求角B的大小；(2)若|，求ABC面积的最
3、大值【解】(1)由题意得(ac)cosBbcosC.根据正弦定理得(sinAsinC)cosBsinBcosC，所以sinAcosBsin(CB)，即sinAcosBsinA，因为A(0，)，所以sinA0，所以cosB，又B(0，)，所以B.(2)因为|，所以|，即b，根据余弦定理及基本不等式得6a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时取等号)，即ac3(2)故ABC的面积SacsinB，因此ABC的面积的最大值为.方法技巧向量与三角函数综合应用(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决.(2)还应熟练掌握向量
4、数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识.已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(，1)，n(cosA，sinA)若mn，且acosBbcosAcsinC，则角A，B的大小分别为(C)A.， B.，C.， D.，解析：由mn得mn0，即cosAsinA0，即2cos0，因为A，所以A，即A.又acosBbcosA2RsinAcosB2RsinBcosA2Rsin(AB)2RsinCc(R为ABC外接圆半径)，且acosBbcosAcsinC，ccsinC，所以sinC1，又C(0，)，所以C，所以B.考点三平面向量在解析几
5、何中的应用【例3】若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_【解析】由题意，得F(1,0)，设P(x0，y0)，则有1，解得y3，因为(x01，y0)，(x0，y0)，所以x0(x01)yxx03x03(x02)22，因为2x02，故当x02时，取得最大值6.【答案】6方法技巧向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值是(A)A3 B2C2 D
6、4解析：由题意，以A为坐标原点，以AB，AD所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，D(0,1)，C(1,1)BC1，CD1，BD.动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，圆C的半径为，圆C的方程为(x1)2(y1)2.设点P的坐标为，(1,0)(0,1)(，)，1cos1sin2(cossin)2sin，当sin1时，取得最大值，最大值为3，故选A.考点四平面向量中的最值、范围问题【例4】(1)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且，则()()的最大值是()A1 B1C.1 D1(2)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量
7、b满足b24eb30，则|ab|的最小值是()A.1 B.1C2 D2【解析】(1)如图，作出，使得，()()21()1，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，取得最小值，最小值为，此时()()取得最大值，最大值为1，故选A.(2)b24eb30，(b2e)21，|b2e|1.如图所示，把a，b，e的起点作为公共点O，以O为原点，向量e所在直线为x轴，则b的终点在以点(2,0)为圆心，半径为1的圆上，|ab|就是线段AB的长度要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，因此|ab|的最小值为1.【答案】(1)A(2)A方
8、法技巧(1)平面向量中有关最值、范围问题的两种解题思路形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断.数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.(2)求向量模的最值(范围)的方法代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解.几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.1如图，菱形ABCD的边长为2，BAD60，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则的最大值为(D)A3 B2C6 D9解
9、析：由平面向量数量积的几何意义知，等于与在方向上的投影之积，所以()max()229.2已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是(B)A2 BC D1解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(1，0)，C(1,0)，设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x222，当x0，y时，()取得最小值，为.平面向量与三角形的“四心”1数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发
10、展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神2数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题设O为ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为ABC的外心|.(2)O为ABC的重心0.(3)O为ABC的垂心.(4)O为ABC的内心abc0.类型1平面向量与三角形的“重心”【典例1】已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足(1)(1)(12)，R，则点P的轨迹一定经过()
11、AABC的内心 BABC的垂心CABC的重心 DAB边的中点【解析】取AB的中点D，则2，(1)(1)(12)，2(1)(12)，而1，P，C，D三点共线，点P的轨迹一定经过ABC的重心【答案】C类型2平面向量与三角形的“内心”问题【典例2】在ABC中，AB5，AC6，cosA，O是ABC的内心，若xy，其中x，y0,1，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()A. B.C4 D6【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为BOC的面积的2倍在ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2b2c22bccosA，得a7
12、.设ABC的内切圆的半径为r，则bcsinA(abc)r，解得r，所以SBOCar7.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2SBOC.【答案】B类型3平面向量与三角形的“垂心”问题【典例3】已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的()A重心 B垂心C外心 D内心【解析】因为，所以，所以(|)0，所以，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过ABC的垂心【答案】B类型4平面向量与三角形的“外心”问题【典例4】已知在ABC中，AB1，BC，AC2，点O为ABC的外心，若xy，则有序实数对(x，y)为()A. B.C. D.【
13、解析】取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则，(xy)y，(xy)x.由，得2y0，由，得2x0，又因为2()2222，所以，把代入、得解得x，y.故实数对(x，y)为.【答案】A1已知O是ABC内一点，0，2且BAC60，则OBC的面积为(A)A.B. C.D.解析：0，O是ABC的重心，于是SOBCSABC.2，|cosBAC2，BAC60，|4.又SABC|sinBAC，OBC的面积为，故选A.2在ABC中，A120，3，点G是ABC的重心，则|的最小值是(B)A. B.C. D.解析：设BC的中点为D，因为点G是ABC的重心，所以()()，再令|c，|b，则bccos1203，所以bc6，所以|2(|22|2)(c2b26)(2bc6).所以|，当且仅当bc时取等号，故选B.
