1、吉林省梅河口市第五中学2020届高三数学第七次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题：1. 已知复数为纯虚数，则实数（ ）A. 2B. -2C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据乘法化简复数，根据实部为0可求解.【详解】由已知得，解得，故选D.【点睛】本题考查了复数的运算及纯虚数概念，属于基础题2. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解分式不等式求得集合，求函数定义求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】由解得，由解得，故，故选C.【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查分式不等式的解法，考查对数函数的定义域，属于基础题.3. 已知如下六个函数：
2、，从中选出两个函数记为和，若的图像如图所示，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】利用排除法：函数为偶函数， 题中所给函数图象不关于轴对称，选项A错误；当时，选项B错误；当时，选项C错误；本题选择D选项.4. 已知平面向量，若向量与向量共线，则x=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先写出向量的坐标，然后由向量平行的坐标公式列方程解出即可.【详解】解：由，得因所以，解得故选B【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，向量平行的坐标表示，属于基础题.5. 过双曲线（，）的右焦点作倾斜角为的直线，和双曲线在第一象限交于点，是等腰三角形（为坐标原点），则双曲线的离心率为（
3、 ）A 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得，得出点坐标，代入双曲线方程得到齐次式进而可得双曲线离心率.【详解】由直线的倾斜角为，是等腰三角形可得，则有点坐标，即，代入双曲线方程中得：，即，即有，化简可得：，解得，由于，所以，即，故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用直线的倾斜角和等腰三角形的定义，结合任意角的三角函数的定义，求出的坐标是解题的关键，属于中档题.6. 已知，则的值为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】由可推出，然后可得，然后即可算出答案.【详解】，所以，所以又，所以，所以，因此，故选：A【点睛
4、】本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式等，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理7. 程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个问该若干？”如图是解决该问题的程序框图执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（ ）A. 28B. 56C. 84D. 120【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求解.【详解】模拟程序的运行，可得： 执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；不满足判
5、断条件，执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；满足判断条件，退出循环，输出的值为.故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中模拟程序运行的过程，通过逐次计算和找出计算的规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8. 某著名风景区有“妙笔生花”“猴子观海”“仙人晒靴”“美人梳妆”“阳关三叠”和“禅心向天”六个景点，为方便游人游览，景区提示如下：（1）只有先游“猴子观海”，才能游“妙笔生花”；（2）只有先游“阳光三叠”，才能游“仙人晒靴”；（3）如果游“美
6、人梳妆”，就要先游“妙笔生花”；（4）“禅心向天”应第四个游览，之后才可游览“仙人晒靴”某同学按照上述提示，顺利游览了上述六个景点，则下列表述一定错误的是（ ）A. 第一个游览“猴子观海B. 第二个游览“阳关三叠”C. 第三个游览“美人梳妆”D. 第五个游览“妙笔生花”【答案】D【解析】【分析】先由（4）确定“仙人晒靴”在第五个或第六个游览，再由（1）（3）可知这三个游览顺序为“猴子观海”“妙笔生花”“美人梳妆”，而由（2）知“阳光三叠”在“仙人晒靴”之前，然后逐个选项分析可得答案【详解】解：由（4）可知“禅心向天”应第四个游览，且 “仙人晒靴”在第五个或第六个游览，由（1）（3）可知“猴子观
7、海”“妙笔生花”“美人梳妆”的顺序关系为“猴子观海”“妙笔生花”“美人梳妆”，且由（2）可知，“阳光三叠”在“仙人晒靴”之前，故A,B,C可能是真的，对于D，第五个游览“妙笔生花”，则“美人梳妆”第六个游览，与“仙人晒靴”在第五个或第六个游览相矛盾，故D一定错误故选：D【点睛】此题考查了逻辑推理能力，属于基础题.9. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，位于第一象限，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设直线的方程为：，联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，然后根据抛物线的定义可得，然后用基本不等式可求得答案.【详解】抛物线的焦点，设直线的方
8、程为：联立方程组，得设，则有，即由抛物线的定义可得所以，当且仅当时等号成立所以的最小值是故选：D【点睛】本题考查的是抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系和基本不等式求最值，考查了学生的转化能力，属于中档题.10. 已知函数，对任意的，都有，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】易得，求出，然后分、两种情况讨论，每种情况下求出的单调性，再结合即可得到答案.【详解】当时，若，则当时，这与矛盾，故当时，所以在上单调递减，于是，符合题意，当时，由可得所以在上单调递增，与题意不符综上：故选：D【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想，属于中档
9、题.11. 已知函数（，）的部分图象如图所示，令，方程的两个不同的解分别为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的图象求出其解析式，然后算出，然后可得的解析式，然后解出方程即可.【详解】根据函数的图象可知，所以，根据五点作图法可知当时，所以所以，所以所以所以由可得所以或所以或所以的最小值为故选：A【点睛】本题主要考查的是三角函数的图象及其性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.12. 在长方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面平行，则当三角形面积最小值时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根
10、据线面平行的性质，补全所给截面，可得两个平行截面，确定点所在的线段，可知当时，三角形面积最小值，然后证明，得到为三棱锥的外接球的直径，进一步求解即可.【详解】补全截面如下图所示：设，因为直线与平面平行，所以直线与平面没有交点，因此平面，易知平面平面，所以，且当重合时，最短，此时三角形面积最小，由等积法可知：，解得：.平面，所以有，又是三棱锥的外接球的直径，长度为，所以半径为1，表面积为：.故选：C【点睛】本题考查了线面平行的性质，考查了多面体外接球问题，考查了直观想象能力.二、填空题：13. 经过原点作函数图像的切线，则切线方程为_【答案】y=0或9x+4y=0【解析】【分析】分原点（0，0）
11、是切点与原点（0，0）不是切点讨论，利用导数得出切线的斜率，写出切线方程即可【详解】解：f（x）3x2+6x，若原点（0，0）是切点，则切线的斜率为f（0）0，则切线方程为y0；若原点（0，0）不是切点，设切点为P（x0，y0），则切线的斜率为，因此切线方程为，因为切线经过原点（0，0），x00，解得切线方程为，化为9x+4y0切线方程为y0或9x+4y0故答案为y0或9x+4y0【点评】本题考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率.解题时一定注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别14. 已知正实数，满足，则最小值为_【答案】【解析】【分析】由题易得，再由计算即可.【详解】因为，即，
12、所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.15. 在中，已知边上的中线，则面积的最大值为_【答案】.【解析】【分析】由题意利用平面向量的加减法几何意义，可得，两边平方再利用两个向量的数量积的定义，余弦定理、基本不等式，求得bc的最大值，可得ABC的面积S的最大值【详解】在ABC中，BC边上的中线AD=3，设ABc，ACb，平方可得 9. 化简可得，bc36，当且仅当时成立，故ABC的面积S 故答案为【点睛】本题主要考查平面向量的加减法几何意义，两个向量的数量积的定义，余弦定理、基本不等式的应用，属于中
13、档题16. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均相等，D为的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为_【答案】.【解析】【分析】先证出B1D平面AC1，过A点作AGCD，证AG平面B1DC，可知ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，求其正弦即可【详解】如图，连接B1D，因为三角形为正三角形，则， 又平面 平面AC1，交线为，B1D平面 ，则B1D平面AC1，过A点作AGCD，则由B1D平面AC1，得AGB1D，由线面垂直的判定定理得AG平面B1DC，于是ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，由已知，不妨令棱长为2，则可得ADCD，由等面积法算得AG所以直线AD与面DCB1的正弦值为 ；故答案为【点
14、睛】考查正棱柱的性质以及线面角的求法考查空间想象能力以及点线面的位置关系，线面角的一般求解方法：法一作出角直接求解，法二；利用等积转化求解三、解答题：（一）必考题：17. 已知数列的前项的和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项的和.【答案】(1)；(2)【解析】试题分析：（1）由公式，可求得，代入，可求得（2）由（1）可知，所以由错位相减法可求数列的前项的和试题解析：（1），所以，得 .（2），所以 ，所以 .错位相减得 ， .所以.【点睛】当数列通项形式为，且数列是等差数列，数列是等比数列，则数列的前n项和，我们常采用错位相减法18. 某工厂，两条相互独立的生产线生产
15、同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求的最小值；（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值已知，生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的
16、频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值【答案】（1）0.95；（2）生产线挽回的平均损失较多；分布列见解析，16200元.【解析】【分析】（1）根据独立事件同时发生以及对立事件的概率，求出产品至少有一件合格的概率，根据已知建立的不等量关系，即可求解；（2）根据（1）的结论求出生产线不合格品率，进而求出两条生产线的不合格品数，即可求出结论；的可能取值为6，8，10，根据频数分布图，求出可能值的频率，得到的分布列，根据期望公式求解即可.【详解】（1）设从，生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件，从，生产线上抽检到合格品分别为事件，
17、由题知，互为独立事件，所以，令，解得，故的最小值（2）由（1）可知，生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和0.9，不合格品率分别为0.05和0.1由题知，生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品（件），可挽回损失为（元），生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品（件），可挽回损失为（元）由此，估计生产线挽回的平均损失较多由题知，的所有可能取值为6，8，10，用样本的频率分布估计总体分布，则，所以的分布列为6810所以（元）故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为（元）【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查创新与应用和运算求解的能力
18、，属于中档题19. 在四棱锥中，底面为正方形，（1）证明:平面；（2）若与底面所成的角为30，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析，（2）【解析】【分析】（1）连接BD交AC于O，连接PO，则有，O为BD的中点，再由可得，由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）由（1）可知，平面平面，两平面的交线为AC，所以过P作PE垂直AC于E，则平面，从而可知平面，若设PC=2，由可把其它边求出来，然后以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接BD交AC于O，连接PO，因为四边形为正方形，所以，O为BD
19、的中点，因为，所以，因为，所以平面；（2）解：因为平面，BD在平面内，所以平面平面，过P作PE垂直AC于E，则平面，所以为与底面所成的角，即，设PC=2，因为，所以,如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则,设平面法向量，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以，由图可知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为【点睛】此题考查线面垂直的证明，考查二面欠余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查运算能力，属于中档题.20. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为的等腰三角形（1）求椭圆的方程；
20、（2）设、是椭圆上三动点，且，线段的中点为，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为的等腰三角形说明，再由直角三角形得，从而可得值，得标准方程；（2）关键是把表示为一个变量的函数，当直线斜率不存在时，可直接求出的长，当直线斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立方程组，变形后由判别式写出一个不等关系，并设，由韦达定理得出，由表示出点坐标代入椭圆方程得，代入刚才的得的关系式：，它满足判别式0，计算中点的坐标，再计算线段长，最终表示为的函数，从而中求得取值范围详解：（1）由题意，椭圆（2）设，由，得：当的斜率不存在时，由,，得，当的斜率存在时，设
21、得：，由点在椭圆上得得：，此时总成立又，且，且综上：点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系问题，考查“设而不求”的思想方法，考查范围问题，解析几何中范围问题一般要把目标表示出一个参数的函数，这里关键是参数的选择要恰当第（2）题中可用下列方法建立函数：设中点，则，设，则21. 已知函数.（1）若是单调函数，求的取值范围；（2）若存在两个极值点，且，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】首先确定定义域为，求出；（1）根据导函数的形式可知若是单调函数，则在上恒非负；符号由决定，根据二次函数图象可得不等式组，解不等式组求得结果；（2）极值点，是方程的两根可得：，结合在上单调递减可将化简为，设，则
22、，设，利用导数求得，从而证得结论.【详解】由题意得：函数定义域为，（1）若是单调函数，则在上恒非负令，在上恒成立，则或解得：的取值范围为：（2）函数的两个极值点，是方程的两根，又，则，在上单调递减设，由得：设，则在上为增函数 即的最小值为：【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用问题，涉及到根据函数在区间内的单调性求解参数范围、与极值点有关的最值问题的求解.求解最值的关键是能够将所求式子等价转化为关于某一变量的函数，通过求解函数最值得到所求式子的最值.（二）选考题：22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求的
23、普通方程和的直角坐标方程；（2）已知定点，直线与曲线相交于，两点，求的值【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为，（2）.【解析】【分析】（1）利用消参法将直线的参数方程化为普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义及根与系数的关系求解.【详解】（1）将直线的参数方程为，消去参数，得整理得的普通方程为因为曲线的极坐标方程为，所以由得即的直角坐标方程为（2）易知直线经过点，将直线的参数方程代入并整理得设点，对应的参数分别为，则，又所以【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化以及直线与曲线的位置关系等，考查学生的运算求解能力.23. 已知函数（1）当时，解不等式；（2）若，求证：【答案】（1）不等式的解集为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用零点分段的方法分段打开绝对值，从而解不等式.（2）由条件有，然后用绝对值的三角不等式可证明结论.【详解】（1）当时，由，则当时， ，解得，即当时， ，解得，即所以不等式的解集为 （2）由，即，所以 所以，即【点睛】本题考查利用零点分段法解含绝对值的不等式和利用绝对值的三角不等式证明不等式，属于中档题.
