1、广东省深圳外国语学校2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）下列函数中，定义域是R+且为增函数的是（）Ay=exBy=xCy=lnxDy=|x|2（5分）已知集合A=x|y=log2x，且y（0，1），B=yR|y|2，则BA=（）A2，01，2B2，2C2，12D3（5分）下列命题中，真命题是（）Ax0R，e0BxR，2xx2C“a1，b1”是“ab1”的充要条件D设，为向量，则“|=|”是“”的充要条件4（5分）化简的结果是（）Acos10Bcos10sin10Csin
2、10cos10D（cos10sin10）5（5分）函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为（）AB2CD6（5分）已知函数f（x）=log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，4）D（4，+）7（5分）已知函数y=loga（x+c）（a，c为常数，其中a0，a1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）Aa1，c1Ba1，0c1C0a1，c1D0a1，0c18（5分）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A2BC0D9（5分）已知函数f（x）=x2cosx，xR，则（）Af（）f（1）f（）Bf（1）f（）f（）Cf（
3、）f（1）f（）Df（）f（）f（1）10（5分）对于集合M，定义函数fM（x）=，对于两个集合M，N，定义集合M*N=x|fM（x）fN（x）=1，已知A=2，4，6，B=1，2，4，则下列结论不正确的是（）A1A*BB2A*BC4A*BDA*B=B*A二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11（5分）已知函数f（x）=x2+mx1，若对于任意xm，m+1，都有f（x）0成立，则实数m的取值范围是12（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别交单位圆于A、B两点已知A、B两点的横坐标分别是、求tan（+）的值=13（5分）非空集合G关于
4、运算满足：（1）对任意的a，bG，都有abG，（2）存在eG，都有ae=ea=a，则称G关于运算为“融洽集”现给出下列集合和运算：G=非负整数，为整数的加法G=偶数，为整数的乘法G=平面向量，为平面向量的加法G=二次三项式，为多项式的加法G=虚数，为复数的乘法其中G关于运算为“融洽集”的是（写出所有“融洽集”的序号）14（5分）设常数a0，则（1）函数f（x）=的值域为；（2）若函数f（x）=为奇函数，则a=三、解答题：（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15（12分）设函数f（x）=lg（x2x2）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B已知：xAB，：x满足2x
5、+p0，且是的充分条件，求实数p的取值范围16（12分）已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A0），函数f（x）=的最大值为6（）求A；（）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象求g（x）在0，上的值域17（14分）如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：ACD=90，ADC=60，ACB=15，BCE=105，CEB=45
6、，DC=CE=1百米（1）求CDE的面积；（2）求A，B之间的距离的平方18（14分）已知向量=（ex，lnx+k），=（1，f（x），（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴垂直，F（x）=xexf（x）（1）求k的值；（2）求F（x）的单调区间及最大值19（14分）已知a为正实数，函数f（x）=ax3（a+2）x2+6x3（1）当a=1时，求函数f（x）的极小值；（2）试讨论曲线y=f（x）与x轴的公共点的个数20（14分）设函数f（x）=lnx+（xa）2，aR（）若函数f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围；（）求函数f（x）的极值点（）设x
7、=m为函数f（x）的极小值点，f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1x2）两点，且0x1x2m，AB中点为C（x0，0），求证：f（x0）0广东省深圳外国语学校2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）下列函数中，定义域是R+且为增函数的是（）Ay=exBy=xCy=lnxDy=|x|考点：函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：本题根据函数的单调性加以判断，得到本题结论解答：解：选项A，y=ex，即，在R上单调递减，不符合
8、题意；选项B，y=x，直线斜率k=10，在R上单调递增，定义域为R，不符合题意；选项C，y=lnx，定义域为R+，e1，y=lnx在R+为增函数，符合题意；选项D，y=|x|，定义域为R，当x0时，y=x在R+上单调递增，不符合题意；故选C点评：本题考查了函数的定义域和单调性，本题难度不大，属于基础题2（5分）已知集合A=x|y=log2x，且y（0，1），B=yR|y|2，则BA=（）A2，01，2B2，2C2，12D考点：补集及其运算 专题：集合分析：求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，根据全集B求出A的补集即可解答：解：由A中y=log2x，且y（0，1），得到x（1，2
9、），即A=（1，2），由B中不等式变形得：2y2，即B=2，2，则BA=2，12，故选：C点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键3（5分）下列命题中，真命题是（）Ax0R，e0BxR，2xx2C“a1，b1”是“ab1”的充要条件D设，为向量，则“|=|”是“”的充要条件考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：利用特称命题的真假判断A的正误；全称命题的真假判断B的正误；充要条件判断C的正误；向量与怎样添加的关系判断D的正误解答：解：对于A，x0R，e0，所以A不正确；对于B，xR，2xx2，当x=2时，不等式不成立，所以B不正确；对于C，“a1，b1”是“ab1
10、”的充分不必要条件，所以C不正确；对于D，设，为向量，则“|=|”说明两个向量的夹角为0或180，所以“|=|”是“”的充要条件，所以D正确故选：D点评：本题考查命题的真假的判断与应用，特称命题与全称命题的关系，充要条件的判断，基本知识的考查4（5分）化简的结果是（）Acos10Bcos10sin10Csin10cos10D（cos10sin10）考点：三角函数的化简求值 专题：计算题；三角函数的求值分析：由同角三角函数的平方关系与二倍角的正弦公式，可得1sin20=（cos10sin10）2，代入原式并结合cos10sin10加以计算，即可得到的化简结果解答：解：1=cos210+sin21
11、0，sin20=2sin10cos10，1sin20=cos2102sin10cos10+sin210=（cos10sin10）2因此，=|cos10sin10|，cos10sin10，可得|cos10sin10|=cos10sin10，=cos10sin10故选：B点评：本题化简根式，求化简结果着重考查了同角三角函数的关系、二倍角的三角函数公式和三角函数值比较大小等知识，属于基础题5（5分）函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为（）AB2CD考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：化简可得y2sin（2x）+，从而可由正
12、弦函数的周期公式即可解得解答：解：y=sin2x+2sin2x=sin2x+2=sin2xcos2x+=2sin（2x）+T=故选：A点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查6（5分）已知函数f（x）=log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，4）D（4，+）考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：可得f（2）=20，f（4）=0，由零点的判定定理可得解答：解：f（x）=log2x，f（2）=20，f（4）=0，满足f（2）f（4）0，f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C点评：本题考
13、查还是零点的判断，属基础题7（5分）已知函数y=loga（x+c）（a，c为常数，其中a0，a1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）Aa1，c1Ba1，0c1C0a1，c1D0a1，0c1考点：对数函数图象与性质的综合应用 专题：函数的性质及应用分析：根据对数函数的图象和性质即可得到结论解答：解：函数单调递减，0a1，当x=1时loga（x+c）=loga（1+c）0，即1+c1，即c0，当x=0时loga（x+c）=logac0，即c1，即0c1，故选：D点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础8（5分）已知向量=（1，），=（3，m），若向
14、量，的夹角为，则实数m=（）A2BC0D考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值解答：解：由题意可得cos=，解得 m=，故选：B点评：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题9（5分）已知函数f（x）=x2cosx，xR，则（）Af（）f（1）f（）Bf（1）f（）f（）Cf（）f（1）f（）Df（）f（）f（1）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的概念及应用分析：由f（x）=x2cosx得，f（x）为偶函数且在（0，）上是增函数，利用函数单调性及奇偶性的性质得出结论解答：解
15、：f（x）=2x+sinx，当x（0，）时，f（x）=2x+sinx0，函数f（x）=x2cosx在（0，）上是增函数，又函数f（x）=x2cosx，在R上是偶函数，故f（）=f（），1，f（）f（1）f（）故选A点评：考查学生利用函数的奇偶性、单调性比较大小的方法，关键是转化到同一单调区间上，利用单调性比较大小，属基础题10（5分）对于集合M，定义函数fM（x）=，对于两个集合M，N，定义集合M*N=x|fM（x）fN（x）=1，已知A=2，4，6，B=1，2，4，则下列结论不正确的是（）A1A*BB2A*BC4A*BDA*B=B*A考点：元素与集合关系的判断 专题：综合题；集合分析：由定义
16、得出两个集合A=2，4，6，B=1，2，4中不在A*B中的元素，再结合四个选项即可得出正确答案解答：解：由定义“对于集合M，定义函数fM（x）=”若A=2，4，6，B=1，2，4，则当x=2，4，6时fA（x）=1，x=1时，fA（x）=1；当x=1，2，4时fB（x）=1，当x=6时，fB（x）=1又由定义集合M*N=x|fM（x）fN（x）=1，知fM（x）与fN（x）值必一为1，一为1，由上列举知，x=2，4时fA（x）fB（x）=1，故2，4A*B考查四个选项，B选项不正确故选B点评：本题考查对新定义的理解及元素与集合关系的，此类题正确理解定义是解答的关键，考查了分析与理解的能力二、填
17、空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11（5分）已知函数f（x）=x2+mx1，若对于任意xm，m+1，都有f（x）0成立，则实数m的取值范围是（，0）考点：二次函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：由条件利用二次函数的性质可得 ，由此求得m的范围解答：解：二次函数f（x）=x2+mx1的图象开口向上，对于任意xm，m+1，都有f（x）0成立，即 ，解得m0，故答案为：（，0）点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题12（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别交单位圆于A、B两点已知A、B两点的横坐标分别是、
18、求tan（+）的值=3考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义 专题：三角函数的求值分析：利用cos=，cos=，、均为锐角，可求得sin与sin的值，继而可得tan=7，tan=，利用两角和的正切即可求得答案解答：解：cos=，cos=，、均为锐角，sin=，sin=，tan=7，tan=，tan（+）=3故答案为：3点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查同角三角函数间的关系式及两角和的正切，属于中档题13（5分）非空集合G关于运算满足：（1）对任意的a，bG，都有abG，（2）存在eG，都有ae=ea=a，则称G关于运算为“融洽集”现给出下列集合和运算：G=非负整数，为整数的
19、加法G=偶数，为整数的乘法G=平面向量，为平面向量的加法G=二次三项式，为多项式的加法G=虚数，为复数的乘法其中G关于运算为“融洽集”的是（写出所有“融洽集”的序号）考点：集合的含义 专题：压轴题；新定义；对应思想分析：根据题意对给出的集合和运算对两个条件：运算的封闭性和单位量e进行验证，分别用加法、乘法和平面向量的线性运算的法则判断，只有都满足时才是G关于运算为“融洽集”解答：解：G=非负整数，为整数的加法，满足任意a，bG，都有abG，且令e=0，有a0=0a=a，符合要求；G=偶数，为整数的乘法，若存在ae=ae=a，则e=1，矛盾，不符合要求；G=平面向量，为平面向量的加法，两个向量相
20、加结果仍为向量；取，满足要求，符合要求；G=二次三项式，为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，不符合要求；G=虚数，为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能是实数，不符合要求，这样G关于运算为“融洽集”的有故答案为：点评：本题考查了学生对新定义的理解和运用能力，可结合学过的运算性质进行类比理解，比如：第一条是运算的封闭性，第二条如加法中的“0”或乘法中的“1”14（5分）设常数a0，则（1）函数f（x）=的值域为（，1）（1，+）；（2）若函数f（x）=为奇函数，则a=1考点：函数奇偶性的性质；函数的值域 专题：函数的性质及应用分析：本题（1）先将函数式变形为部分分式，再利用
21、分式不为0的特征得到函数的值域；（2）利用函数奇偶性的定义，得到关于x的恒等式，研究恒等式，得到本题结论解答：解：（1）a0，函数f（x）=1，函数f（x）=的值域为（，1）（1，+）（2）函数f（x）=为奇函数，f（x）=f（x），2（a21）2x=0，a2=1，常数a0，a=1故答案为：（1）（，1）（1，+）；（2）1点评：本题考查了函数的值域和函数奇偶性的应用，本题难度不大，属于基础题三、解答题：（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15（12分）设函数f（x）=lg（x2x2）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B已知：xAB，：x满足2x+p0，且是的充
22、分条件，求实数p的取值范围考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：计算题分析：先解不等式x2x20得集合A，再解不等式可得集合B，从而可得AB，再解不等式2x+p0得集合C，由是的充分条件得ABC，由集合间的包含关系可得p的取值范围解答：解：依题意，得A=x|x2x20=（，1）（2，+），于是可解得AB=（2，3设集合C=x|2x+p0，则由于是的充分条件，所以ABC则须满足所以，实数p的取值范围是（，6）点评：本题考查了充分条件的判断与集合的关系，训练了解不等式的能力，解题时要把握推理方向，准确运算16（12分）已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A0），函数
23、f（x）=的最大值为6（）求A；（）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象求g（x）在0，上的值域考点：三角函数的最值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：（）利用向量的数量积展开，通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化为，一个角的一个三角函数的形式，通过最大值求A；（）通过将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象求出
24、g（x）的表达式，通过x0，求出函数的值域解答：解：（）函数f（x）=A（）=Asin（2x+）因为A0，由题意可知A=6（）由（）f（x）=6sin（2x+）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后得到，y=6sin2（x+）+=6sin（2x+）的图象再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=6sin（4x+）的图象因此g（x）=6sin（4x+）因为x0，所以4x+，4x+=时取得最大值6，4x+=时函数取得最小值3故g（x）在0，上的值域为3，6点评：本题考查三角函数的最值，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（x+）的图象
25、变换，考查计算能力17（14分）如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：ACD=90，ADC=60，ACB=15，BCE=105，CEB=45，DC=CE=1百米（1）求CDE的面积；（2）求A，B之间的距离的平方考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数 专题：解三角形分析：（1）利用周角定义求出DCE度数，再由CD与CE的长，利用三角形面积公式求出三角形CDE面积即可；（2）连接AB，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义
26、求出AC的长，在直角三角形BCE中，求出CBE度数，利用正弦定理求出BC的长，在三角形ABC中，利用余弦定理求出AB的平方即可解答：解：（1）在CDE中，DCE=3609015105=150，SCDE=CDCEsin150=11=（平方百米）；（2）连接AB，根据题意知，在RtACD中，AC=DCtanADC=1tan60=（百米），在BCE中，CBE=180BCECEB=18010545=30，由正弦定理=得：BC=（百米），cos15=cos（6045）=cos60cos45+sin60sin45=，在ABC中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC22ACBCcosACB，则AB2=3+22
27、=2（百米）点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18（14分）已知向量=（ex，lnx+k），=（1，f（x），（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴垂直，F（x）=xexf（x）（1）求k的值；（2）求F（x）的单调区间及最大值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）由向量共线的坐标运算得到函数f（x）的解析式，求导后由在x=1时的导数值等于0得到k的值；（2）对F（x）=xexf（x）求导，由导函数的符号得到F（x）的单调区间，可得函数的最大
28、值解答：解：（1）=（ex，lnx+k），=（1，f（x），则exf（x）=lnx+k，f（x）=，f（x）=，由已知f（1）=0，k=1（2）F（x）=1xlnxxF（x）=lnx2由F（x）=lnx20，解得：0x由F（x）=lnx20，解得xF（x）的增区间为（0，减区间为，+），x=时，F（x）取得最大值1+点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了向量共性的坐标表示，训练了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是2015届高考试卷中的压轴题19（14分）已知a为正实数，函数f（x）=ax3（a+2）x2+6x3（1）当a=1时，求函数f（x）的极小值；（2）试讨
29、论曲线y=f（x）与x轴的公共点的个数考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 专题：计算题；分类讨论；导数的综合应用分析：（1）求出f（x）的表达式，并求导数，解不等式，求出增区间和减区间，从而得到极小值；（2）求出导数，求出极值点，讨论a的范围：0a2，a=2，a2求出单调区间和极值，从而判断f（x）的图象与x轴的交点个数解答：解：（1）当a=1时，函数，f（x）=3x29x+6=3（x1）（x2），当x1或x2时，f（x）0；当1x2时，f（x）0f（x）在（，1），（2，+）内单调递增，在（1，2）内单调递减故f（x）的极小值为f（2）=1（2）令f（x）=0，即，有，若
30、0a2，则当时，f（x）0，当时，f（x）0，极大值，f（x）的图象与x轴只有一个交点； 若a=2，则f（x）=6（x1）20f（x）的图象与x轴只有一个交点；当a2，由（1）知f（x）的极大值为，f（x）的图象与x轴只有一个交点； 综上所述，若a0，f（x）的图象与x轴只有一个公共点点评：本题考查函数的导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查函数的零点个数与极值的关系，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题20（14分）设函数f（x）=lnx+（xa）2，aR（）若函数f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围；（）求函数f（x）的极值点（）设x=m为函数f（x）的极小值点，f（x）的图象与x
31、轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1x2）两点，且0x1x2m，AB中点为C（x0，0），求证：f（x0）0考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（）在区间上，若函数f（x）单调递增，则不等式2x22ax+10，即恒成立，由基本不等式即可得到实数a的取值范围；（）对f（x）进行求解，可以设出h（x）=2x22ax+1，对a进行讨论：a0或a0两种情况，利用导数研究函数的极值问题；（）由已知得两式相减，然后写出f（x0）的表达式，即用x1，x2 表示f（x0），再令t=（0，1），研究（t）=lnt（0t1）的性质，从而证明f（x0）的正负解答：
32、解：（） 依题意得，函数f（x）在上单调递增，则在区间上不等式2x22ax+10恒成立又因为x0，所以所以，所以实数a的取值范围是（），令h（x）=2x22ax+1显然，当a0时，在（0，+）上h（x）0恒成立，这时f（x）0，此时，函数f（x）没有极值点； 当a0时，（）当0，即时，在（0，+）上h（x）0恒成立，这时f（x）0，此时，函数f（x）没有极值点； （）当0，即时，易知，当时，h（x）0，这时f（x）0；当或时，h（x）0，这时f（x）0；所以，当时，是函数f（x）的极大值点；是函数f（x）的极小值点综上，当时，函数f（x）没有极值点；当时，是函数f（x）的极大值点；是函数f（x）的极小值点（）将A、B两点代入到f（x）中，可得将两式相减，得：由，得得代入，得=，令t=（0，1）且（t）=lnt（0t1），（t）=，（t）在（0，1）上递减，（t）（1）=0，x1x2，f（x0）0点评：本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在对0a1进行研究时，一定要注意到f（x）的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定（2）中，代数运算比较复杂，特别是计算过程中，令t=的化简和换元，使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解，这对学生的综合能力有比较高的要求
