1、课时强化训练(九)一、选择题1(2013东北模拟)等差数列an中,S150,S160,则使an0成立的n的最大值为()A6 B7 C8 D9解析:依题意得S1515a80,即a80;S168(a1a16)8(a8a9)0,即a8a90,a9a80.因此使an0成立的n的最大值是8,选C.答案:C2(2013郑州质检)在等比数列an中,若a4,a8是方程x24x30的两根,则a6的值是()A B. C D3解析:依题意得,a4a84,a4a83,a40,a80,因此a60(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6,选B.答案:B3(2013辽宁卷)下面是关于公差d0的
2、等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1,p2 Bp3,p4Cp2,p3 Dp1,p4解析:设ana1(n1)ddna1d,它是递增数列,所以p1为真命题;若an3n12,则满足已知,但nan3n212n并非递增数列,所以p2为假命题;若ann1,则满足已知,但1是递减数列,所以p3为假命题;设an3nd4dna1d,它是递增数列,所以p4为真命题答案:D4(2013大同调研)设等差数列an的前n项和为Sn,若S39,S636,则a7a8a9()A63 B45 C36 D27解析:
3、设等差数列an的公差为d,依题意得由此解得a11,d2,则a7a8a93a83(a17d)45,选B.答案:B5(2013杭州质检)若等比数列an的公比q2,且前12项的积为212,则a3a6a9a12的值为()A24 B26 C28 D212解析:由等比数列定义知a1a4a7a10a3a6a9a12a3a6a9a12,a2a5a8a11a3a6a9a12,而a1a2a3a12a3a6a9a12a3a6a9a12a3a6a9a12(a3a6a9a12)3212,(a3a6a9a12)3224,a3a6a9a1228.答案:C6(2013福建卷)已知等比数列an的公比为q,记bnam(n1)1a
4、m(n1)2am(n1)m,cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m,nN*),则以下结论一定正确的是()A数列bn为等差数列,公差为qmB数列bn为等比数列,公比为q2mC数列cn为等比数列,公比为qm2D数列cn为等比数列,公比为qmm解析:显然,bn不可能是等比数列;cn是等比数列证明如下:cnam(n1)1am(n1)2am(n1)mcn1amn1amn2amnmqmqmqm(qm)m.二、填空题7(2013广东卷)在等差数列an中,已知a3a810,则3a5a7_.解析:设等差数列an的公差为d,则a3a8a12da17d2a19d10,所以3a5a73(a14d)a16d
5、4a118d20.答案:208(2013辽宁卷)已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和若a1,a3是方程x25x40的两个根,则S6_.解析:由x25x40得方程两根为1和4,由于数列an是递增的等比数列,所以a11,a34,从而得公比q2,所以S663.答案:639(2013新课标全国卷)等差数列an的前n项和为Sn.已知S100,S1525,则nSn的最小值为_解析:设数列an的首项和公差分别为a1,d,则,则nSnnn2,设函数f(x)x2,则f(x)x2x,当x时,f(x)0,所以函数f(x)minf,但649,所以最小值为49,故填49.答案:49三、解答题10(2013四
6、川卷)在等差数列an中,a1a38,且a4为a2和a9的等比中项,求数列an的首项、公差及前n项和解析:设该数列公差为d,前n项和为Sn.由已知,可得2a12d8,(a13d)2(a1d)(a18d)所以a1d4,d(d3a1)0,解得a14,d0,或a11,d3,即数列an的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以,数列的前n项和Sn4n或Sn.11(2013长春联考)已知等差数列an的公差大于0,且a3,a5是方程x214x450的两根,数列bn的前n项和为Sn,且Sn(nN*)(1)求数列an,bn的通项公式;(2)记cnanbn,求数列cn的前n项和Tn.解析:(1)设等差数列a
7、n的公差为d.a3,a5是方程x214x450的两根,且数列an的公差d0,a35,a59,d2.ana5(n5)d2n1.又当n1时,有b1S1,b1.当n2时,有bnSnSn1(bn1bn),(n2)数列bn是以为首项,为公比的等比数列,bn.(2)由(1)知,cn2n1,Tnc1c2c3cn,Tnn2n2.12(2013银川模拟)设等差数列an的首项a1为a(a0),前n项和为Sn.(1)若S1,S2,S4成等比数列,求数列an的通项公式;(2)证明:nN*,Sn,Sn1,Sn2不构成等比数列解析:(1)设等差数列an的公差为d,则Snnad,所以S1a,S22ad,S44a6d.因为S1,S2,S4成等比数列,所以SS1S4,即(2ad)2a(4a6d),整理得d(2ad)0,所以d0或d2a.当d0时,ana;当d2a时,ana(n1)d(2n1)a.(2)采用反证法不失一般性,不妨设存在mN*,使得Sm,Sm1,Sm2构成等比数列,则SSmSm2,得a2madm(m1)d20,()若d0,则a0,此时SmSm1Sm20,这与等比数列的定义矛盾;()若d0,若使数列an的首项a存在,则必有式的0.然而(md)22m(m1)d2(2mm2)d20,矛盾综上所述,nN*,Sn,Sn1,Sn2不构成等比数列