1、天津市武清区杨村第一中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一选择题1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用补集定义进行求解即可.【详解】因为，所以.故选：C2. 命题为锐角三角形，命题中，. 则命题是命题的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当成立时，利用诱导公式可得，再利用单调性可得的大小关系；当成立时，无法推出成立；【详解】当成立时，即，命题可推出命题；当成立时，令，显然，但三角形不为锐角三角形；命题是命题的充分不必要条件.故选：A.3. 幂函数满足,则等于（ ）A
2、. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设幂函数的解析式，利用待定系数法求解，即可求值.【详解】设幂函数，则，解得，所以所以，故选：A4. 若 ，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用诱导公式可得，再利用平方差公式和二倍角公式即可求解.【详解】由，得，则，故选：D.5. 设则下列判断中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数分析的单调性，从而判断出的大小关系.【详解】设，所以，令，所以，所以时，单调递增；，单调递减，因为，且，所以，故选：B.【点睛】方法点睛：利用构造函数思想比较大小的方法：（1）先分析所构造函数
3、的导函数，由此分析出函数的单调性；（2）先比较处于同一单调区间的函数值大小；（3）再通过一定方法（函数性质、取中间值等）将非同一单调区间的函数值转化到同一单调区间，即可完成比较大小.6. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征.函数在区间上的图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由函数的奇偶性确定部分选项，再通过特殊值得到答案.【详解】因为，所以在区间上是偶函数，故排除B，D，又，故排除C；故选：A.7. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录
4、了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2020年5月1日12350002020年5月15日6035600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内，该车每百千米平均耗油量为（ ）A. 6升B. 8升C. 10升D. 12升【答案】C【解析】【分析】根据表格，得出耗油量及行驶的里程之差即可得到答案.【详解】解：因为每次都把油箱加满，第二次加了升油，说明这段时间总耗油量为升，而行驶的路程为 (千米)，故每千米平均耗油量为 (升)故选：C.8. 若函数在R上没有零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数零点
5、的定义，令或，使方程无解即可求解.【详解】由函数在R上没有零点，当时，令，解得，若方程无解，可得或，当，令，解得，若方程无解，则，解得.所以的取值范围是.故选：B二多项选择题9. 已知实数满足约束条件，则（）A. 目标函数的最小值为0B. 目标函数的最小值为0C. 目标函数的最小值为5D. 目标函数的最小值为4【答案】ABD【解析】【分析】画出约束条件表示的的平面区域，利用数形结合法对选项中的命题真假进行判定，即可求解.【详解】画出约束条件表示的平面区域，如图所示，对于A中，目标函数过点A时，取得最小值，由，解得，所以的最小值为，所以A正确；对于B中，目标函数过点B时，取得最小值，由，解得，所
6、以的最小值为，所以B正确；目标函数表示区域内的点到点距离的平方，所以最小值为，所以C错误，D正确.故选：ABD【点睛】解答线性规问题的求解：（1）若线性目标函数，通常画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解；（2）对于分式型目标函数，可结合斜率的几何意义求解；（3）对于二元二次型目标函数，可结合两点间的距离的几何意义求解.10. 设正实数，满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据基本不等式，结合对数的运算性质、对钩函数的单调性、指数函数的单调性进行判断即可.【详解】因为正实数，满足，所以，当且仅当时，取等号.A：因为，所以本选项不正
7、确；B：设，函数在时，单调递减，因此当时，函数有最小值，最小值为，因此有，即，所以本选项正确；C：因为正实数，满足，所以，当且仅当时，取等号，即时，取等号，所以本选项不正确；D：因为正实数，满足，所以，因此本选项正确.故选：BD11. 已知函数（表示不超过实数的最大整数部分），则（ ）A. 的最小正周期为B. 是偶函数C. 在单调递减D. 的值域为【答案】AB【解析】【分析】根据正、余弦函数的图象性质及题目条件分析判断即可.【详解】因为，所以函数为偶函数，所以B正确；根据正弦、余弦函数的图象性质可知的最小正周期为，故A正确；又因为当和时， ，所以，且在上无单调性，故C错；当时，所以，；当时，所
8、以，则，所以函数的值域为，故D错.故选：AB.【点睛】本题考查三角函数图象性质的综合运用问题，较简单，解答时根据函数解析式的特点及奇偶性、周期性的概念判断即可.12. 已知函数为上可导函数，则下列判断中正确的是（ ）A. 若在处的导数值为，则在处取得极值B. 若为奇函数，则为偶函数C. 若为偶函数，则为奇函数D. 若的图像关于某直线对称，则的图像关于某点成中心对称【答案】BD【解析】【分析】A选项，举反例，即可判断A错；B选项，根据原函数与导函数奇偶性直接的关系，即可判断B正确；C选项，举反例，即可判断C错；D选项，根据函数对称性列出等式，两边求导，即可得出D正确.【详解】A选项，若，则，所以
9、，而显然是单调函数，没有极值，故A错；B选项，若为奇函数，则原函数一定是偶函数，加上常数后，也为偶函数，故B正确；C选项，若为偶函数，则不一定为奇函数，如显然为偶函数，但，若不为，则不是奇函数；故C错；D选项，若的图像关于直线对称，则，两边求导，可得，即，所以函数的图像关于中心对称，故D正确.故选：BD.三填空题13. 不等式的解集为，则的值为_.【答案】1【解析】【分析】利用绝对值的几何意义解不等式即可求解.【详解】，解得，因为不等式的解集为.所以，解得.故答案为：114. 命题，为真命题，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先分离参数，由题意知，即可求出答案.【详解】由，则，所
10、以.则实数m的取值范围是：.故答案为：.15. 已知函数有两个极值点，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求导，令有两根，即有两解，令函数，然后分析函数的单调性及最值，确定的取值范围.【详解】因为，则，若函数有两个极值点，则有两根，则只需满足有两解，令，则，当时，则上递减；当时，则在上递增；所以，故只需.故答案为：.【点睛】本题考查根据函数极值点的个数求参数的取值范围，难度一般，解答的一般方法如下：第一步：求函数的导函数；第二步：令，将问题转化为根据方程根的个数确定参数的取值范围问题，或利用参变分离法将问题转化为的模型，第三步：讨论函数的单调性及极值最值，确定的取值范围.16. 托勒密是
11、古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，且为正三角形，则面积的最大值为_，四边形ABCD的面积为_.（注：圆内接凸四边形对角互补）【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先利用托勒密定理得出与的关系，然后利用基本不等式求解出的最值，得出面积最
12、值，再利用求解四边形的面积.【详解】如图所示，设的边长为，则根据托勒密定理可得：，得，根据基本不等式得，当且仅当时等号成立.又等边三角形，则，根据圆内接凸四边形对角互补得.所以的面积;又因为，所以.故答案为：；.【点睛】解答的关键在于根据托勒密定理得出，然后利用基本不等式求出的最大值.四解答题17. 已知函数在处的切线方程为.（1）求实数、的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值之和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）求出切点的坐标，利用切线的斜率和切点的坐标可得出关于实数、的方程组，进而可解得实数、的值；（2）利用导数分析函数在区间上的单调性，可求得该函数在区间上的最大值和最
13、小值，由此可求得结果.【详解】（1）由已知得切点为，且，解得，；（2）由（1）知，当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以，又，.因此，函数在区间上的最大值与最小值之和为.【点睛】在利用导数求解函数的最值的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得18. 函数，函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，的图像关于原点对称.在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：“已知_，函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为.” （1）求的值；（2）求函数在上的单调递增区间.【答案】（1
14、）；（2）.【解析】【分析】（1）选择条件：利用二倍角公式化简函数，再由相邻两对称轴之间距离为求出，可得的解析式，进而求出的值；选择条件：由相邻两对称轴之间距离为求出，再将的图像向右平移个单位长度得到的解析式，由求出，可得，进而求出的值；（2）令，解出的范围，进而得出在上的单调递增区间【详解】（1）选择条件：即有：又因为相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而， 从而， 选择条件：依题意，相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而， ，又的图像关于原点对称，则，由知，从而，（2），令，解得，从而在上的单调递增区间为【点睛】方法点睛：本题考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，求解三角函数单调区间
15、的步骤是：1.先将三角函数化简为的形式；2.将整体代入正弦函数的单调区间；3.解出的范围，并写成区间形式，不同区间用逗号隔开19. （1）已知角的终边上有一点，求的值.（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意先确定角三角函数值，然后利用诱导公式将原式化简，然后求值；（2）将化为，根据题目条件可求得，再利用可求得，然后求解的值.【详解】解：（1）原式因为知角的终边上有一点，根据任意角三角函数的定义可知：，故原式. （2）由，可得，又.【点睛】本题考查任意角三角函数的概念及诱导公式，考查两角和与差的正余弦公式，难度一般.20. 如图，在中，线段的垂直平分线交于点，
16、连接.（1）若的面积为，求的长；（2）若，求角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由的面积可得的值，然后在中由余弦定理得；（2）由条件得，CDAD；在中，由正弦定理，得，利用二倍角公式即可得出结果.【详解】解：（1）由已知得BCBDsin B，又BC2，sin B，BD，cos B在中，由余弦定理，得CD2BC2BD22BCBDcos B2222CD （2）CDAD，在中，由正弦定理，得，又BDC2A，得，解得cos A，所以A【点睛】思路点睛：利用正余弦定理解决平面几何问题.先引入变量，如边长，角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正，余弦定理列出方程，
17、解即可得出结果.21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，且存在两个极值点，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，讨论的取值范围，利用导数与函数单调性之间的关系即可判断. （2）根据题意两个极值点满足，从而可得，不妨设，则，只需，证明，构造函数，证明即可.【详解】解（1）的定义域为，. （i）若，则，所以在单调递增. （ii）若，当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增. （2）因为存在两个极值点且.，所以的两个极值点满足，所以，不妨设，则 则， 要证，只需证.设，则， 知在单调递减，又当时，故，即，所以.【点睛】关键点点睛：利用导数证明
18、不等式，关键求出，将不等式转化为恒成立，构造函数，求出函数的最大值，即证.22. 已知函数.（1）讨论的零点个数；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当或时，函数有1个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有0个零点.；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，令，利用导数判断函数的单调性，作出函数的大致图像，数形结合即可求解.（2）不等式可化为，构造函数，证明，判断出函数为增函数，证出，再构造，利用导数，讨论的取值范围即可.【详解】（1）令，即不是方程的根， 令,则. 当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递减.作出的大致图像： 所以，当或时，函数有1个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有0个零点. （2）不等式可化为. 令，则为增函数所以有，得到，所以不等式对恒成立等价于不等式对恒成立. 令，有当时，因为，所以，所以，函数为增函数，所以，即时，不等式恒成立；当时，因为时，函数为减函数，有，与题设矛盾.综上，当时，不等式对恒成立.【点睛】方法点睛：利用导数判断零点个数以及不等式恒成立，常用方法；（1）直接讨论函数的单调性，利用零点存在性定理进行判断；（2）分离参数法，转化为两个函数的交点个数；（3）利用导数证明不等式恒成立，构造函数判断函数的单调性.
