1、高三数学冬学竞赛试卷一、 单选题：本大题共8个小题.每小题5分；共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 2.已知全集，集合, 集合，那么= （ ）A. B. C. D. 3、已知，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D既不充分也不必要条件4、已知为等差数列，为其前项和，若，则（ ）A. 49B. 91C. 98D. 1825、已知函数，要得到的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位6、已知向量，则（ ）A. B. C.
2、5 D. 257、函数的图象大致是A. B. C. D. 8、已知函数，（其中为自然对数的底数），若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4个小题.每小题5分，漏选得3分，错选不得分，共20分9、设是等差数列，为其前项和，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 、均为的最大值10、下列命题正确是：（ ）A. 函数的图像关于坐标原点对称，B. 若，则，C. 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为D. 设、，是任意的非零平面向量，且相互不共线，则不与垂直11、对于函数，下列正确的是（ ）A. 是函数的一个极值点B. 的单调增区间是，C.
3、在区间上单调递减D. 直线与函数的图象有3个交点12. 如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间（单位：）表示他从小岛到城镇的时间,（单位：）表示此人将船停在海岸处距点的距离.设，则（ ）A 函数为减函数 B C 当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少 D、当时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过 三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的数学百草园、好玩的数学、故事中的数学等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱.下面我们一起来看好玩的数学中谈老的
4、一篇文章五分钟内挑出埃及分数：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如果两个埃及分数与的和表示等.从这个埃及分数中挑出不同的个，使得它们的和为，这三个分数是 （按照从大到小的顺序排列）14.在平面直角坐标系中，角的顶点是，始边是轴上的非负半轴，点是终边上一点，则的值是 15、 已知是第四象限角，且sin（+）=，则tan（）= .16、 设函数的最大值为，最小值为，则=_ .四、解答题：本大题共6小题，共70分其中17题10分，其它题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、已知函数.（1）求的最小正周期；（2）在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，求的
5、值.18、在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在中，内角的对边分别为，且满足 .，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19、已知数列前项和为，其中为常数（1）证明：；（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由 20、在数列中，已知，且对于任意正整数都有.（1）令，求数列的通项公式.（2）求的通项公式.21、已知函数（1）求函数的最大值；（2）若函数与有相同极值点求实数的值；若对于（为自然对数的底数），不等式恒成立，求实数的取值范围22、已知函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为.（1） 求；（2） 讨论函数和的单调性；（3） 设，求证：数学答案
6、1、复数，共轭复数为，故答案为B2.由题得A=x|x0,B=y|y1，所以.故答案为C3、 A4，即，故选B5、函数，所以将函数的图象向左平移个单位时，可得到的图象，选A.6、解：向量，.故选：C.7、当时，故函数图像过原点，排除又，令则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化结合四个选项，只有符合要求故选【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证8、解：函数为偶函数，且的最大值为1，由的导数为，可得时，递增，或，递减，取得极小值，作出，的
7、图象，函数有4个零点，即为有四个解，可令，若，则，则有3解，不符题意；若，则有4解，两个负的，两个正的，则可能有4，6解，不符题意；若，则有4解，两个负的，两个正的，（一个介于，一个大于1），则有6解，不符题意；若，则有4解，两个负的，两个正的（一个介于，一个大于1），则有4解，符合题意.故选：B.9、解：由得，即，又，故B正确；同理由，得，故A正确；对C，即，可得，由结论，显然C是错误的；与均为的最大值，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式和的最值问题，熟练应用公式是解题的关键.10、解：对A：的定义域为，则为奇函数，故A正确；对B：由得，则，故，故B正确；对C：由
8、题可得，得，解得，则当时，的最小值为，故C正确；对D：，则与垂直，故D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查函数的奇偶性，三角函数的性质，对数的性质，向量的运算法则，是基础题.11、解：由题得，令，可得，则在，上单调递增，在上单调递减，是函数的一个极值点，故AC正确，B错误；因为，又，根据在上单调递减得得，所以直线与函数图象有3个交点，故D正确.故选：ACD.12、 AC13、14、15、解：是第四象限角，则，又sin（），cos（）cos（）sin（），sin（）cos（）则tan（）tan（）故答案为16、，令，则为奇函数，所以的最大值和最小值和为0，又.有，即.答案为：2.17、解：（1）
9、，的最小正周期为；（2），则，又的面积为，则，由余弦定理得.18、在横线上填写“”解：由正弦定理，得由，得，由，得所以又（若，则这与矛盾），所以 又，得.由余弦定理及，得 .即将代入，解得所以在横线上填写“”解：由及正弦定理，得又，所以有因为，所以从而有又所以.由余弦定理及，得， 即将代入，解得所以在横线上填写“”解：由正弦定理，得.由，得，所以由二倍角公式，得由，得，所以.所以，即.由余弦定理及，得， 即将代入，解得所以19、（I）由题设，两式相减得，由于，所以（II）由题设，可得，由（I）知，令，解得故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，所以，因此
10、存在，使得为等差数列20、解：（1）由已知可得，即，则是公比为的等比数列，又，所以，即；（2）由（1）知，所以，令，有，则是公比为的等比数列，又，所以，所以. 21、 （1），由得，由得，在上为增函数，在上为减函数，函数的最大值为；（2），（）由（1）知，是函数的极值点，又函数与有相同极值点，是函数的极值点，解得，经检验，当时，函数取到极小值，符合题意；（）， ， 即，由（）知，当时，当时，故在为减函数，在上为增函数，而，当，即时，对于，不等式恒成立，又，当，即时，对于，不等式，又，综上，所求的实数的取值范围为22、 解：（1）对求导，得.因此.又因为.所以曲线在点处的切线方程为，即.由题意，显然适合上式.令，求导得，因此为增函数故是唯一解（2）由（1）可知，因此所以为减函数因为所以为增函数.（3）证明：由，易得.由（2）可知，在上为减函数.因此，当时，即 令，得，即因此，当时，所以成立下面证明：.由（2）可知，在上为增函数.因此时，即.因此，即.令，得，即.当时，.因为，所以，所以.所以，当时，.所以，当时，成立.综上所述，当时，成立.
