1、顺义区2018届高三第二次统练数学试卷（理科） 第一部分(选择题 共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 设集合，则A. B. C. D.2.若满足则的最大值为A.1 B.3 C.4 D.3.执行如图所示的程序框图，输出的值为A.2 B.3 C.4 D.54.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A. B. C. D.16 5.已知直线,其中在平面内.则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.若，则的大小关系为A B. C. D.7. 已知是正的中心若，其中
2、，则的值为 A. B. C. D.28已知点若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为“正三角形”曲线给定下列三条曲线：；其中，“正三角形”曲线的个数是ABCD第二部分(非选择题 共110分)二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9.若，则.10.已知为等差数列，为其前项和，若，则_.11.设双曲线经过点(4,1),且与具有相同渐近线,则的方程为_;渐近线方程为_.12.曲线为参数)的对称中心到直线的距离为_.13.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，他们的终边关于轴对称，若，则.14.已知是集合的非空子集，且当时，有.记满足条件的集合的个数为，则_；_.三、解答题（本大题共6小题
3、，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）在中，内角所对的边分别为.已知，的面积为9.（）求的值； （）求及的值.16（本小题满分13分）2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：某班满意不满意男生23女生42（）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数（）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计
4、该生持满意态度的概率；（）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望17.（本小题满分14分）如图，在正三棱柱中，侧棱长和底面边长均为1，是的中点（）求证：平面；（）求与平面 所成角的正弦值；（）试问线段上是否存在点，使？若存在，求 的值，若不存在，说明理由 18.（本小题满分13分） 已知函数,其中.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若不等式在定义域内恒成立，求实数的取值范围.19、（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为，左顶点为，离心率为，点满足条件.（）求实数的值；（）设过点的直线与椭圆交于两点，记
5、和的面积分别为，证明：.20、（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，其中，则称为的“陪伴数列”.（）写出数列的“陪伴数列”；（）若的“陪伴数列”是.试证明：成等差数列.（）若为偶数，且的“陪伴数列”是，证明：.顺义区2018届高三第二次统练数学试卷答案（理科）一、ADDB BCCC二、9. 1. 10. 18 11. .12. . 13. . 14. 3，15.解: （）因为的面积, 所以所以.因为,所以.-7分（）由（）知在中,由余弦定理得,所以. -10分又因为, 所以在中,由正弦定理得. -13分16（）不妨设女生人数为X，男生人数为Y，则可得X-Y=4 （1）又由分层抽样可知，（
6、2）联立（1）（2）可解得X=24，Y=20（）设该生持满意态度为事件A，则基本事件的总数有11种，事件A中包含的基本事件有6种，所以（）的可能取值有0，1，2对应的事件为从该班11名调查对象中抽取2人，2人中恰好有0人持满意态度基本事件的总数为=55，其中包含的基本事件数有种所以同理：，所以分布列为：012P所以期望17. （）连结交于点O，连结OD 交于点O O是的中点又是的中点 OD是的一条中位线OD 又平面.4分（）以点D为坐标原点，DB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴，垂直于面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0），C（，0，0）在平面ADC1中，
7、（0，0），设为平面ADC1的一个法向量，则有，即不妨令，则，所以又，则设与平面所成角为，则=与平面所成角的正弦值为.9分（）假设点E在线段上，使不妨设（）， 在平面ADC1中，（0，0），（1） （2）由（1）可解得 又（2）可解得（1）与（2）矛盾，所以这样的点E不存在.14分18. 解：（）当时，-2分则，又-4分曲线在点处的切线方程为：-5分（）函数定义域为，且-6分下面对实数进行讨论：当时，恒成立，满足条件-7分当时，由解得，从而知函数在内递增；同理函数在内递减， -9分因此在处取得最小值 -10分 ，解得-12分综上：当时，不等式在定义域内恒成立.-13分19. 解：（）椭圆的标准方程为： ，-2分则，-3分，解得-4分（）方法一：若直线的斜率不存在，则，符合题意-5分若直线的斜率存在，因为左焦点，则可设直线的方程为：，并设.联立方程组，消去得：-6分,-7分-9分-12分， -14分方法二：依题意可设直线的方程为：，并设.5分联立方程组，消去，得-6分,-7分-9分 -12分， -14分20.（）解：. 3分（）证明：对于数列及其“陪伴数列”，因为 ， 将上述几个等式中的第这4个式子都乘以，相加得 即 故所以成等差数列. 8分（）证明： 因为 ， 由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即，. 13分
