1、6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例学 习 任 务核 心 素 养1掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题(重点)2体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具(重点)3培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力(难点)1通过用向量方法解决几何问题的学习，提升数学运算和直观想象的核心素养2通过用向量方法解决物理问题的学习，提升数学想象、数学建模的核心素养物理中的共点力平衡，用两个力F1和F2拉的效果和用一个力F拉的效果是一样的问题：(1)F能不能称为F1和F2的合力呢？(2)它们之间有什么关系？知识点1平面几何中的向量方法1向量在平
2、面几何中常见的应用(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：ababx1y2x2y10(b0)(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：abab0x1x2y1y20(3)求夹角问题，利用夹角公式：cosa，b(4)求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：|a|或|AB|A|2向量法解决平面几何问题的“三步曲”1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若，则直线AB与直线CD平行()(2)若ABC是直角三角形，则必有0()(3)ABC中，若20，则ABC为等边三角形()(4)|()答案(1)(2)(3)(
3、4)2已知平面内四边形ABCD和点O，若a，b，c，d，且acbd，则四边形ABCD为()A菱形B梯形C矩形 D平行四边形D由条件知，则，即，四边形ABCD为平行四边形3已知在ABC中，a，b，且ab0，则ABC的形状为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D不能确定A由条件知BAC为钝角，所以ABC为钝角三角形知识点2向量在物理中的应用1力学问题的向量处理方法向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上2速度、位移问题的向量处理方法速度、加速度与位移的合
4、成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成3向量与功、动量物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积(1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W|F|s|cosF，s功是一个实数，它可正，可负，也可为零(2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度v，因此动量的计算是向量的数乘运算4如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s km，位移为|a| km，则()As|a| Bs|a|Cs|a| Ds与|a|不能比较大小A路程是数量，位移是向量，从而s500，由位移的合成易得|a|500，故s|a
5、|5某物体做斜抛运动，初速度|v0|10 m/s，与水平方向成60角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是_m/s5设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，|v2|v0|cos 60105(m/s) 类型1向量在平面几何中的应用【例1】(1)如图，已知AD，BE，CF是ABC的三条高，且交于点O，DGBE于G，DHCF于H求证：HGEF(2)如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE1用向量法如何证明平面几何中ABCD?提示法一：选择一组向量作基底；用基底表示和；证明的值为0；给出几何结论ABCD法二：先求，的坐标，(x1，y1
6、)，(x2，y2)，再计算的值为0，从而得到几何结论ABCD2用向量法如何证明平面几何中ABCD?提示法一：选择一组向量作基底；用基底表示和；寻找实数，使，即；给出几何结论ABCD法二：先求，的坐标，(x1，y1)，(x2，y2)利用向量共线的坐标关系x1y2x2y10得到，再给出几何结论ABCD以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有得到ABCD证明(1)B，设 (0)，则同理于是()，即HGEF(2)法一：设a，b，则|a|b|，ab0，又a，b，所以a2ab|a|2|b|20故，即AFDE法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)
7、，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，(2,1)，(1，2)因为(2,1)(1，2)220，所以，即AFDE用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算1已知非零向量与满足0且，则ABC的形状是()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形C由0，得A的平分线垂直于BC，所以ABAC，设，的夹角为，而cos ，又0，所以，BAC，故ABC为等腰三角形 类型
8、2向量在解析几何中的应用【例2】已知点A(1,0)，直线l：y2x6，点R是直线l上的一点，若2，求点P的轨迹方程解设P(x，y)，R(x0，y0)，则(1,0)(x0，y0)(1x0，y0)，(x，y)(1,0)(x1，y)由2，得又点R在直线l：y2x6上，y02x06，由得x032x，代入得62(32x)2y，整理得y2x，即为点P的轨迹方程用向量方法解决解析几何问题的步骤一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题2已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点(
9、1)求直线DE的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线的方程解(1)设M(x，y)是直线DE上任意一点，则，因为点D，E分别为边BC，CA的中点，所以点D，E的坐标分别为D(1,1)，E(3，1)，(x1，y1)，(2，2)，所以(2)(x1)(2)(y1)0，即xy20为直线DE的方程(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则，所以0，又(x6，y2)，(4,4)，所以4(x6)4(y2)0，即xy40为所求直线CH的方程 类型3平面向量在物理中的应用【例3】(对接教材P40例3)(1)一物体在力F1(3，4)，F2(2，5)，F3(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(
10、0,5)在这个过程中三个力的合力所做的功等于_(2)设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|1，|F2|2，且F1与F2的夹角为，如图所示求F3的大小；求F2与F3的夹角(1)40因为F1(3，4)，F2(2，5)，F3(3,1)，所以合力FF1F2F3(8，8)，(1,4)，则F188440，即三个力的合力所做的功为40(2)解由题意|F3|F1F2|，因为|F1|1，|F2|2，且F1与F2的夹角为，所以|F3|F1F2|设F2与F3的夹角为，因为F3(F1F2)，所以F3F2F1F2F2F2，所以2cos 124，所以cos ，所以向量在物理中的应用(1)求力向量、
11、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解(2)用向量方法解决物理问题的步骤：把物理问题中的相关量用向量表示；转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；结果还原为物理问题3一条宽为km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知ABkm，船在水中最大航速为4 km/h；问怎样安排航行速度，可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？解如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作ACED，当AE与AB重合时能最快到达彼岸根据题意知ACAE，在RtADE和ACED中，|2，|4，AED90，|2，20.5(h)，sin EAD，EAD
12、30船实际航行速度大小为4 km/h，与水流成120角时能最快到达B码头，用时0.5小时1过点M(2,3)，且垂直于向量u(2,1)的直线方程为()A2xy70B2xy70Cx2y40 Dx2y40A设P(x，y)是所求直线上任一点，则u又(x2，y3)，所以2(x2)(y3)0，即2xy702已知作用在点A的三个力f1(3,4)，f2(2，5)，f3(3,1)，且A(1,1)，则合力ff1f2f3的终点坐标为()A(9,1) B(1,9) C(9,0) D(0,9)Aff1f2f3(3,4)(2，5)(3,1)(8,0)，设终点为B(x，y)，则(x1，y1)(8,0)，所以所以所以终点坐标
13、为(9,1)3长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|10 km/h，水流的速度v2的大小为|v2|4 km/h设v1和v2的夹角为(0180)，北岸的点A在A的正北方向，则游船正好到达A处时，cos ()A B C DD该船的实际速度为v，v1与南岸上游的夹角为，如图所示要使得游船正好到达A处，则|v1|cos |v2|，即cos ，又，所以cos cos()cos ，故选D4在ABC中，AB3，AC边上的中线BD，5，则AC的长为_2因为，所以22，即21，所以|2，即AC25用两条成120角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为_N10如图，由题意，得AOCCOB60，|10，则|10，即每根绳子的拉力大小为10 N回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)用向量解决平面几何问题的步骤是什么？(2)如何用向量解决物理中的力学、速度、位移、功等问题？
