1、球与几何体的切接问题命题点1外接球 求解外接球问题的方法解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置对于特殊的多面体还可通过补成正方体或长方体的方法找到球心位置高考题型全通关1直三棱柱ABCABC的所有棱长均为2，则此三棱柱的外接球的表面积为()A12 B16 C28 D36C由直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，得底面所在平面截外接球所成的圆O的半径r2，又由直三棱柱的侧棱长为2，得外接球球心到圆O的距离d，则外接球半径R满足R2r2d27，外接球
2、的表面积S4R228.故选C2(2020石家庄模拟)已知正三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2，则球O的表面积为()A25 B20 C16 D30A如图，延长SO交球O于点D，设ABC的外心为E，连接AE，AD，由正弦定理得2AE4，AE2，易知SE平面ABC，由勾股定理可知，三棱锥SABC的高SE4，由于点A是以SD为直径的球O上一点，SAD90，由射影定理可知，球O的直径2RSD5，因此，球O的表面积为4R2(2R)225.3(2020武汉部分学校质量检测)已知三棱锥PABC的四个顶点均在球O的球面上，PAPBPC2，且PA，PB，PC两两互
3、相垂直，则球O的体积为 ()A16 B8 C4 D2C因为PA，PB，PC两两互相垂直，且PAPBPC2，所以以PA，PB，PC为交于一点的三条棱构造正方体，则球O即此正方体的外接球，该正方体的体对角线长为球的直径，即球的直径为2，所以球的半径R，所以球O的体积VR3()34，选C4如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥的高之差的绝对值为()A B C DRD设球的球心为O，半径为R，体积为V，上面圆锥的高为h(hR)，体积为V1，下面圆锥的高为H(HR)，体积为V2，两个圆锥共用的底面的圆心为O1，半径为r.由球和圆锥的对称性可知hH2R，
4、|OO1|HR.V1V2V，r2hr2HR3，r2(hH)R3.hH2R，rR.OO1垂直于圆锥的底面，OO1垂直于底面的半径，由勾股定理可知R2r2|OO1|2，R2r2(HR)2，HR，hR，则这两个圆锥的高之差的绝对值为R，故选D命题点2内切球求解内切球问题的关键点求解多面体的内切球问题的关键是求内切球的半径求内切球半径的一般方法为：将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径高考题型全通关1已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球的表面积与圆锥的表面积的比值为 ()A BCDB设圆锥的底
5、面半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，所以rR，S球4r24R2，S圆锥R2RR23R2，所以球的表面积与圆锥的表面积的比值为，故选B2在封闭的正三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若AB6，AA14，则V的最大值是 ()A16 B C12 D4D由正三角形ABC的边长为6，得其内切圆的半径为r2，所以在封闭的正三棱柱ABCA1B1C1内的球的半径的最大值为，所以Vmaxr34，故选D3如图，在三棱锥PABC中，PA4，AC2，PBBC2，PA平面PBC，则三棱锥PABC的内切球的表面积为()A BC4D16B由PA平
6、面PBC，且PA4，PB2，AC2，得AB2，PC2，所以PBC为等边三角形，ABC为等腰三角形，V三棱锥PABCV三棱锥APBCSPBCPA(2)244，三棱锥PABC的表面积为S242(2)22516.设内切球半径为r，则V三棱锥PABCSr，即416r，所以r，所以三棱锥PABC的内切球的表面积为4.4如图，圆柱O1O2的底面直径与高都等于球O的直径，记圆柱O1O2的表面积为S1，球O的表面积为S2，则_.设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.所以球的表面积S24R2，圆柱的表面积S12R2RR2R26R2，则.命题点3与球有关的最值问题多面体与球有关的最值问题，主要有三种：一
7、是多面体确定的情况下球的最值问题；二是球的半径确定的情况下与多面体有关的最值问题；三是多面体与球均确定的情况下，截面的最值问题高考题型全通关1(2020成都模拟)若矩形ABCD的对角线交点为O，周长为4，四个顶点都在球O的表面上，且OO，则球O的表面积的最小值为()A BC32D48C由题意，知矩形ABCD所在的圆面为球O的一个截面因为O为矩形ABCD的对角线的交点，所以OO所在直线垂直于矩形ABCD所在的圆面因为矩形ABCD的周长为4，所以BCCD2.设BCx，则CD2x，所以BD2BC2CD2x2(2x)2，即BD22(x)220.设球O的半径为R，则R2OO2(x)28，所以当x时，R2
8、取得最小值8，所以球O的表面积的最小值Smin4(R2)min32，故选C2(2020洛阳尖子生第一次联考)已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足BABC，ABC，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为()A8 B16 C DD如图，ABC是等腰直角三角形，AC为截面圆的直径，外接球的球心O在截面ABC上的射影为AC的中点D，当P，O，D共线且P，O位于截面ABC同一侧时三棱锥的体积最大，高最大，此时三棱锥的高为PD，由PD3，解得PD3，设外接球的半径为R，则OD3R，OCR，在ODC中，CDAC，由勾股定理得(3R)2()2R2，解得R2.三棱锥PABC的外接
9、球的体积V23.故选D3(2020惠州第一次调研)在三棱锥ABCD中，底面BCD是直角三角形且BCCD，斜边BD上的高为1，三棱锥ABCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16，则三棱锥ABCD体积的最大值为_如图，过点C作CHBD于H.由外接球的表面积为16，可得外接球的半径为2，则AB4.因为AB为外接球的直径，所以BDA90，BCA90，即BDAD，BCCA，又BCCD，CACDC，所以BC平面ACD，所以BCAD，又BCBDB，所以AD平面BCD，所以平面ABD平面BCD，又平面ABD平面BCDBD，所以CH平面ABD设ADx(0x4)，则BD.在BCD中，BD边上的高CH1，
10、所以V三棱锥ABCDV三棱锥CABDx1，当x28时，V三棱锥BCD有最大值，故三棱锥ABCD体积的最大值为.4已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h2，则h1h2的最小值为_2由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知ABBC，ADDC，ACh1h2，ROEOFOGOH1，则S四边形ABCDSAOBSBOCSCODSAOD，即ABBCRABRBCRCDRADR(2AB2BC)R(ABBC)，所以ABBCABBC由基本不等式可得ABBCABBC2，则ABBC4，当且仅当ABBC时等号成立所以(h1h2)2AC2AB2BC22ABBC8，当且仅当ABBC时等号成立，故h1h2的最小值为2.
