1、广东省深圳市石岩公学2015届高三12月阶段性统一测试文科数学试卷考试时间：120分钟 命题人：潘家东一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1设全集,集合,则=( )A B C D 2.已知i是虚数单位，a，bR，且，则ab( )A1 B1 C2 D33. 已知为锐角，且,则的值是( )A B C D4. 若,成等比数列,则函数的图像与轴交点的个数( )A0 B1 C2 D无数个5.已知命题p1：x0R，；p2：x1,2，x210.以下命题为真命题的是( ) A B C D 6. 下列函数中，在其定义域中
2、，既是奇函数又是减函数的是( )A B C D7. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A60 B54 C48 D248. 已知变量x，y满足约束条件，则z3xy的最大值为( )A4 B5 C6 D79右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于( )A 10 B 9 C 8 D 710已知两个点，若直线上存在点， 使 得则称该直线为“A型直线”给出下 列直线： ， 则这三条直线中有( )条“A型直线” A3 B2 C1 D0 第卷（非选择题 共20分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分其中1415题是选做题，考生只能选做
3、一题，两题全答的， 只计算前一题得分请将答案填在答题卡相应位置.（一）必做题（1113题）11. 设，向量，且，则= ；12. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是_ ；13. 观察下列等式 照此规律，第6个等式可为 .（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 和，它们的交点坐标为 ；15（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,，且=9，是圆上一点使得=4，=, 则= .三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤16. （本小题满分12分）已知函数. （）求函数的
4、最小正周期； （）求函数在区间上的值域17. （本小题满分12分） 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100（）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.A1C1BAC第18题图DB1E 18. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，且（)求证：平面平面；（)设是的中点，判断并证明在线段上是否存在点，使/平面；若存在，求三棱锥的体积1
5、9. （本小题满分14分）已知等差数列的前项和为R，且成等比数列.（1）求的值；（2）若数列满足，求数列的前项和.20（本小题满分14分） 已知圆C:x2y22x4y30.（）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（）从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求使得|PM|取得最小值时点P的坐标21（本小题满分14分）已知函数f(x)x3x2axa，xR，其中a0.（）求函数f(x)的单调区间；（）若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；（）当a1时，设函数f(x)在区间t，t3上的最大值为M(t)，最小值为
6、m(t)，记g(t)M(t)m(t)，求函数g(t)在区间3，1上的最小值石岩公学2015届高三12月阶段性统一测试文科数学试卷答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分1-10 B D B A C B A D A C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分其中1415题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分11.15 12. 13. 14. 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分16. (I) 4分 所以，周期 6分（II） ， 8分， 的值域为 12分17. （）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为： 3分 所以各地区
7、抽取商品数为：，；6分（）设各地区商品分别为： 7分 6件样品中随机抽取2件的基本事件为：，共15个.9分2件商品来自相同地区的基本事件为：11分记“这两件商品来自同一地区的事件”为A，则它的概率为：.12分18. （I）证明：在直三棱柱中，有平面. ， 又， 4分 又BC1A1C，A1C平面ABC1 ， 则平面ABC1平面A1C 7分（II）方法一：取中点F，连EF，FD，当E为中点时，EFAB, , 即平面平面，则有平面. 11分当E为中点时，= 14分方法二：A1C交AC1于G点连BG，当E为中点时，有，则有DEBG，即平面ABC1，求体积同上 A1C1BAC第18题图DB1E G A1
8、C1BAC第18题图DB1E F 19. （1）解法1：当时， 1分 当时， 2分 . 3分 是等差数列， ，得. 4分 又， 5分 成等比数列， ，即， 6分 解得. 7分解法2：设等差数列的公差为， 则. 1分 ， ，. 4分 ，. 成等比数列， ， 5分 即. 解得. 6分 . 7分（2）解法1：由（1）得. 8分 ， . 9分，10分， 11分得13分 . 14分20. 解：【答案】解（）将圆C配方得(x+1)2+(y-2)2=2. 当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为y=kx, 由=,解得k=2,得y=(2)x. 当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为x+y-a=0,
9、 由=,得|a-1|=2,即a=-1,或a=3. 直线方程为x+y+1=0,或x+y-3=0. 综上,圆的切线方程为y=(2+)x,或y=(2-)x,或x+y+1=0,或x+y-3=0. （）由|PO|=|PM|,得x+y=(x1+1)2+(y1-2)2-2,整理得2x1-4y1+3=0. 即点P在直线l:2x-4y+3=0上. 当|PM|取最小值时,即OP取得最小值,直线OPl,直线OP的方程为2x+y=0. 解方程组得点P的坐标为. 21. 解：(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa) 1分由f(x)0，得x11，x2a0. 2分当x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1
10、)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)5分(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)内单调递增，在区间(1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0a. 8分所以，a的取值范围是(0，) (3)a1时，f(x)x3x1.由(1)知f(x)在3，1上单调递增，在1,1上单调递减，在1,2上单调递增 9分当t3，2时，t30,1，1t，t3，f(x)在t，1上单调递增，在1，t3上单调递减因此，f(x)在t，t3上的最大值M(t)f(1)，而最小值m(t)为f(t)与f(t
11、3)中的较小者由f(t3)f(t)3(t1)(t2)知，当t3，2时，f(t)f(t3)，故m(t)f(t)，所以g(t)f(1)f(t)而f(t)在3，2上单调递增，因此f(t)f(2).所以g(t)在3，2上的最小值为g(2)(). 11分当t2，1时，t31,2，且1,1t，t3下面比较f(1)，f(1)，f(t)，f(t3)的大小由f(x)在2，1，1,2上单调递增，有f(2)f(t)f(1)，f(1)f(t3)f(2)又由f(1)f(2)，f(1)f(2)，从而M(t)f(1)，m(t)f(1).所以g(t)M(t)m(t). 13分综上，函数g(t)在区间3，1上的最小值为. 14分
