1、第1讲 空间几何体 专题五 立体几何与空间向量 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 41.(2014安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A.21 3B.18 3C.21D.181 2 3 4解析 由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示.因此该几何体的表面积为 6(412)2 34(2)2213.故选 A.答案 A 1 2 3 42.(2015山东)在梯形 ABCD 中，ABC2，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.23B.43C.53D.21
2、 2 3 4解析 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为 VV 圆柱V 圆锥AB2BC13CE2DE1221312153.答案 C 1 2 3 43.(2015课标全国)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知
3、1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛 1 2 3 4解析 由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积 V1314R2h3209(立方尺).所以堆放的米大约为32091.6222(斛).答案 B 1 2 3 44.(2014江苏)设甲，乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2.若它们的侧面积相等，且S1S294，则V1V2的值是_.解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由S1S294，得r21r2294，则r1r232.由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，即 r1h1r2h
4、2，所以V1V2r21h1r22h2r1r232.32 考情考向分析 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.热点一 三视图与直观图热点分类突破 1.一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.2.由三视图还原几何体的步骤 一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体.例1(1)(2014课标全国)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，
5、则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱 C.四棱锥D.四棱柱 解析 由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.答案 B(2)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()解析 由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合.从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形.答案 B 思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对
6、应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果.跟踪演练1(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()解析 由俯视图，易知答案为D.D(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析 如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.D热点二 几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧.例2(1)(2015北京)某
7、三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A.2 5B.4 5C.22 5D.5解析 该三棱锥的直观图如图所示：过D作DEBC，交BC于E，连接AE，则BC2，EC1，AD1，ED2，S表SBCDSACDSABDSABC 122212 5112 51122 522 5.答案 C(2)如图，在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E4，C1F3，连接EF，FB，DE，BD则几何体EFC1DBC的体积为()A.66B.68C.70D.72 解析 如图，连接DF，DC1，那么几何体EFC1DBC被分割成三棱锥DEFC1及四棱锥DCBFC1，那么几何
8、体EFC1DBC的体积为 V13123461312(36)66125466.故所求几何体EFC1DBC的体积为66.答案 A 思维升华(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和.(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差.求解时注意不要多算也不要少算.跟踪演练2(2015四川)在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是_.解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱
9、，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，11P A MNAPMNVV，又AA1平面PMN，1APMNA PMNVV，A PMNV 131211212 124，故1P A MNV 124.答案 124热点三 多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.例 3(1)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA平面 ABC
10、，SA2 3，AB1，AC2，BAC60，则球 O 的表面积为()A.4B.12C.16D.64 解析 在ABC中，BC2AB2AC22ABACcos 603，AC2AB2BC2，即ABBC，又SA平面ABC，三棱锥 SABC 可补成分别以 AB1，BC 3，SA2 3为长、宽、高的长方体，球 O 的直径12 322 324，故球O的表面积为42216.答案 C(2)(2015 课标全国)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36B.64C.144D.256 解析 如图，要使三棱锥O-ABC即C-OAB的体积
11、最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥C-OAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则 VO-ABC 最大VC-OAB 最大13SOABR1312R2R16R336，所以 R6，得S球O4R2462144，选C.答案 C 思维升华 三棱锥PABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：(1)P可作为长方体上底面的一个顶点，A、B、C可作为下底面的三个顶点；(2)PABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线.跟踪演练 3 在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，ABC，ACD，ABD 的面积分别为 22，32，62，则三棱锥 ABCD 的
12、外接球体积为_.解析 如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长.据题意ABAC 2，ACAD 3，ABAD 6，解得AB 2，AC1，AD 3，长方体的对角线长为 AB2AC2AD2 6，三棱锥外接球的半径为 62.三棱锥外接球的体积为 V43(62)3 6.答案 6高考押题精练 1 2 31.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为()A.16B.8 28C.2 22 68D.4 24 681 2 3押题依据 求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点.此类题常
13、以三视图为载体，给出几何体的特征，求几何体的表面积或体积.解析 由三视图知，该几何体是底面边长为22222 2的正方形，高 PD2 的四棱锥 PABCD，因为PD平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，1 2 3易得BCPC，BAPA，又 PC PD2CD2 222 222 3，所以 SPCDSPAD1222 22 2，SPABSPBC122 22 32 6.所以几何体的表面积为 4 64 28.答案 D 1 2 32.如图，将边长为 5 2的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展开图，则圆锥的体积是()A.2 303 B.2 63 C.303 D.603 押题依据 简单合体的表面积
14、和体积计算是高考考查的重点，本题从体积和展开图两个角度命题，符合高考命题思想.1 2 3解析 设圆锥底面半径为RMO，底面周长2R弧长 FE142AM，AM4R，OC 2R，ACAMMOOC(5 2)R，正方形边长5 2 22 AC，即 5 2 22(5 2)R，R 2，AM4 2，h AM2R2 30，1 2 3V13R2h132 302 303.答案 A 1 2 33.在正三棱锥 SABC 中，M 是 SC 的中点，且 AMSB，底面边长 AB2 2，则正三棱锥 SABC 的外接球的表面积为()A.6B.12C.32D.36 押题依据 多面体的外接球一般借助补形为长方体的外接球解决，解法灵活，是高考的热点.1 2 3解析 因为三棱锥SABC为正三棱锥，所以SBAC，又AMSB，所以SB平面SAC，所以 SBSA，SBSC，即 SA，SB，SC 三线两两垂直，且AB2 2，所以SASBSC2，所以(2R)232212，所以球的表面积S4R212，故选B.答案 B 谢谢观看
